Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Автор: Елена Юрьевна Семенова МОУ СОШ 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Содержание Взаимное расположение прямых в пространстве Параллельные прямые в пространстве Теорема о параллельных прямых Лемма Теорема о параллельности трех прямых Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Определение параллельности прямой и плоскости Признак параллельности прямой и плоскости Свойства параллельных плоскостей (1°) Свойства параллельных плоскостей (1°) Свойства параллельных плоскостей (2°) Свойства параллельных плоскостей (2°) Признак скрещивающихся прямых Признак скрещивающихся прямых Теорема о скрещивающихся прямых Теорема о скрещивающихся прямых Теорема об углах с сонаправленными сторонами Примеры и задачи

Пример с параллелепипедом Задача 1 Задача 2 Примеры и задачи

Проверка самостоятельной работы 1 вариант а M Р К А А С В D S = d 1 d 2 sinα 12

А С В D Проверка самостоятельной работы 2 вариант с d 1 1 n O 2 2 S = d 1 d 2 sinα 12

Определите ошибку на рисунке m n q p α α

Взаимное расположение прямых в пространстве m n а ll b c d m – n а b с d

Параллельные прямые в пространстве Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. а а b b α α а ll b

Теорема о параллельных прямых Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. а а b b α α М М Дано: а, М а Доказать: 1) b, М b, a ll b 2) b – ! Доказать: 1) b, М b, a ll b 2) b – ! Ε Ε

Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. a α M b Дано: а || b, a α Доказать: b α

Теорема о параллельности трех прямых Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. α а Дано: а || c; b || c b c Доказать: а || b (а α, b α, a b) Доказать: а || b (а α, b α, a b) К

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве α α а а b b β β М М γ γ с с с || γ b βb β b βb β a α

Определение параллельных прямой и плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. α α c c с || α

Пример А С В D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1

Признак параллельности прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. α α a a Дано: а, α, a α, b α, а || b Дано: а, α, a α, b α, а || b b b Доказать: а || α

Свойства параллельных плоскостей (1°) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. α α Дано: a β, a α, а || α, α β = b Дано: a β, a α, а || α, α β = b Доказать: а || b а а β β b b

Свойства параллельных плоскостей (2°) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. α α Дано: а || α, а || b Доказать: b || α, b α Доказать: b || α, b α а а b b

Решите задачу 1 Дано: АВ || α; (АВК) α = СD; СK = 8; АВ = 7; АС = 6 Доказать: АВ || СD Найти: СD α α А А В В K K С С D D

Решите задачу 2 Дано: АВ α = В 1 ; АС α = С 1 ; ВС || α; АВ : ВВ 1 = 8 : 3; АС = 16 см Доказать: ВC || B 1 С 1 Найти: АС 1 α α А А В В С С В1В1 В1В1 С1С1 С1С1

Скрещивающиеся прямые Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. α α n n m m m – n

Признак скрещивающихся прямых Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. α α D D А А Дано: AB α, CD α = C, C AB Дано: AB α, CD α = C, C AB В В С С Доказать: AB CD

Теорема о скрещивающихся прямых Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. В В А А Е Е С С D D Дано: AB CD α α Доказать: 1) α, AB α, α ll CD 2) α – ! Доказать: 1) α, AB α, α ll CD 2) α – ! Ε Ε

Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. О А1А1 В1В1 О1О1 АВ Дано: ОА О 1 А 1, ОВ О 1 В 1 Дано: ОА О 1 А 1, ОВ О 1 В 1 Доказать: АОВ = А 1 О 1 В 1 Доказать: АОВ = А 1 О 1 В 1

Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. А О О1О1 В1В1 А1А1 В Дано: ОА О 1 А 1, ОВ О 1 В 1 Дано: ОА О 1 А 1, ОВ О 1 В 1 Доказать: АОВ = А 1 О 1 В 1 Доказать: АОВ = А 1 О 1 В 1

Угол между прямыми α α D D А А В В С С φ φ 180º - φ а b φ φ А1А1 А1А1 В1В1 В1В1 α α

Пространственный четырехугольник D D С С В В α α β β А А

D D С С В В М М N N P P Q Q α α β β А А

α α В В φ φ P P А А С С D D Дано: ABCD – параллелограмм, Р α, РАВ = φ. Найти: (АР; CD). φ φ P1P1 P1P1 Вариант 1Вариант 2