Параллельность в пространстве Подготовили : Соловьёв Иван, Перфильева Алина

Параллельные прямые Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельные прямые Теорема : Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Доказательство : Пусть A a Прямая a и точка A определяют единственную плоскость α. В этой плоскости проведем через точку A прямую b, параллельную прямой a. Если существует еще одна прямая c, параллельная a и проходящая через точку A, то по определению параллельных прямых c и a определяют некоторую плоскость. Эта плоскость содержит прямую a и точку A, то есть совпадает с плоскостью α. Следовательно, в плоскости αчерез точку A проходят две прямые, параллельные прямой a, что противоречит аксиоме о параллельных прямых в планиметрии. Замечание. Согласно определению, две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Легко заметить, что через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость.

Свойства Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. Теорема о трех прямых в пространстве. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны ( если a c и b c, то a b).

Параллельность прямой и плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой и плоскости Теорема : Если прямая вне плоскости параллельна какой - нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости. Доказательство : Пусть b α, a || b и a α ( чертеж 2.2.1). Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна α, тогда прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке A. Причем A b, так как a || b. Согласно признаку скрещивающихся прямых прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию.

Свойства Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность плоскостей Теорема : Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство : Пусть α и β - данные плоскости, a1 и a2 – прямые в плоскости α, пересекающиеся в точке A, b1 и b2 – соответственно параллельные им прямые в плоскости β. Предположим, что плоскости α и β не параллельны, а значит пересекаются по некоторой прямой с. По теореме о признаке параллельности прямой и плоскости прямые a1 и a2, как параллельные прямые b1 и b2, параллельны плоскости β, и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости α через точку A проходят прямые a1 и a2, параллельные прямой с. Это невозможно по аксиоме параллельных. Что противоречит предположению. Теорема доказана.

Свойства параллельных плоскостей Вели α β и они пересекаются с γ, то а b. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Если α β и AB CD, то АВ = CD. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.