Параллельные прямые в пространстве ПЛОСКОСТЬ Прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными. АПП: Через любую точку плоскости, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной и притом только одна. ПРОСТРАНСТВО Прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек, называются параллельными. Теорема (о существовании и единственности прямой, параллельной данной): Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной и притом только одна.

Как доказывается истинность утверждения? Как доказывается то, что утверждение ложно? ПЛОСКОСТЬ Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. ПРОСТРАНСТВО Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. α а b c О с а b О

ЛЕММА: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая пересекает эту плоскость. (Лемма – это утверждение, предшествующее теореме и использующееся при доказательстве этой теоремы) a b м α а b М N р α β

19. Стороны параллелограмма АВ и ВС пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC тоже пересекают плоскость α. А B C D M N α

Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. (признак параллельности прямых) Дано: ac, bc. Доказать: ab, т.е.: 1) a и b лежат в одной плоскости 2) a и b не пересекаются. Доказательство: 1) Доказательство: 2) от обратного Пусть: a и b пересекаются, тогда……. c a b K b α с а b О α

Дан параллелепипед, грани которого являются параллелограммами. Доказать: 1) ABD 1 C 1 ; 2) DD 1BB 1 ; 3)AD (A 1 B 1 C 1 ); 4) Каким плоскостям параллельна прямая D 1 C 1 ; 5) АА 1 и DC скрещивающиеся прямые; 6) В 1 С 1 и DD 1 скрещивающиеся прямые. A B C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

Взаимное расположение прямой и плоскости 1 случай: а α3 случай: а α 2 случай: а содержится в α или плоскость α проходит через прямую а α а α а В α а

Признак параллельности прямой и плоскости Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна и самой плоскости Дано: а не содержится в α, b содержится в α, а b. Доказать: а α Доказательство Метод «от обратного» Пусть а не параллельна α. Тогда… а содержится в α. или а пересекает α. По лемме, так как а b, то b тоже пересекает α. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение неверно. Следовательно а α а b α

23 Точка М не лежит в плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что CD (ABM) В А С D М

Свойство 1. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает ее, то линия пересечения параллельна данной прямой α а β b

Задача. Плоскость α пресекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках M и N соответственно. Известно, что АСα, АВ:АМ=8:3. 1) Докажите, что ВN:ВС=5:8; 2) Найдите ВN. А С В M Nα

Свойство 2 Лемма: Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая пересекает эту плоскость. Свойство 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая… либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве назвать несколько пар параллельных прямых несколько пар пересекающихся прямых несколько пар прямых, не лежащих в одной плоскости А В С D А1А1 D1D1 C1C1 B1B1

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости Признак Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые являются скрещивающимися α А В D C β

Любая прямая с, лежащая в плоскости β, делит эту плоскость на две полуплоскости с границей с. β с

Углы с сонаправленными сторонами Определение : Два луча, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через их начала. Сонаправлены ли лучи: 1 и 2; 1 и 3; 2 и 5; 2 и 4; 5 и 4? а

Теорема : Если стороны двух углов являются сонаправленными лучами, то такие углы равны Доказательство: рассмотрим четырехугольники 1) ОАА 1 О 1,, 2) ОВВ 1 О 1, 3) ВАА 1 В 1, 4) треугольники ОАВ и О 1 А 1 В 1 О О1О1 А А1А1 В В1В1

Задача 46 А В С D О m α

Задача: Прямая р, не лежащая в плоскости треугольника АВС, параллельна стороне АВ. Найти угол между прямыми р и ВС, если угол АВС равен 132 о. В А С р

А В С р α

Параллельность плоскостей Опр. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Признак: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Метод от обратного: Пусть α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по прямой с. а b а1а1 b1b1 α β O c

Свойство 1 : Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. α β γ а b

Свойство 2 : Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. A C B D