Урок по теме Автор: Алтухова Ю.В., учитель математики Брянского городского лицея 1

Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) – Cечение многогранника – любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда) многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым пересекает грани многогранника секущая плоскость Новые понятия в теме: Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда: верхнюю, нижнюю, правую, левую, переднюю, заднюю А ВС Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 Назовите сечение параллелепипеда Покажите сечение тетраэдра

Секущая плоскость тетраэдра (параллелепипеда) – Cечение многогранника – любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда) многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым пересекает грани многогранника секущая плоскость Новые понятия в теме: Назовите отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани параллелепипеда: верхнюю, нижнюю, правую, левую, переднюю, заднюю А ВС Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 Назовите сечение параллелепипеда Покажите сечение тетраэдра

При построении сечений важно знать: а) построение сечения сводится к из определения сечения: секущая плоскость пересекает грани по отрезкам построению линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника Теоретические основы:

При построении сечений важно знать: способы задания секущей плоскости б) Сечение однозначно определяется тремя точками многогранника Теоретические основы:

Способы задания секущей плоскости I II 1) 2) 3) 1) 2) 3) Тремя точками Прямой и точкой, не лежащей на данной прямой Двумя пересекающимися прямыми Двумя параллельными прямыми Точкой и условием параллельности данной плоскости Прямой и условием параллельности другой прямой, скрещивающейся с данной

При построении сечений важно знать: в) если две точки многогранника принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них, По аксиоме: если две точки принадлежат плоскости, то и вся прямая, проходящая через эти точки, принадлежит плоскости Теоретические основы: принадлежит секущей плоскости

При построении сечений важно знать: г) если секущая плоскость пересекает две противоположные параллельные грани многогранника, то По теореме: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны Теоретические основы: линии пересечения параллельны

При построении сечений важно знать: д) если секущая плоскость проходит через прямую, параллельную грани многогранника и пересекает её, то Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой Теоретические основы: линия пересечения плоскости и грани параллельна данной прямой

При построении сечений важно знать: е) общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, пересекает другую плоскость, то она пересекает и линию пересечения плоскостей Теоретические основы: прямой, содержащей общее ребро граней а С М В А

При построении сечений важно знать: б) сечение однозначно определяется тремя точками многогранника а) построение сечения сводится к построению линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника в) если две точки многогранника принадлежат сечению, то прямая, проходящая через них, принадлежит секущей плоскости Что делаем, если хотим проверить, построено ли сечение или нет? До начала работы ответьте, можно ли по данным задачи построить сечение? Что делаем, если в плоскости какой-то грани окажутся две точки секущей плоскости ? Почему это важно?

При построении сечений важно знать: г) если секущая плоскость пересекает две про- тивоположные параллельные грани многогран- ника, то линии пересечения параллельны; Почему это важно? Что делаем, если в одной из параллельных граней есть сторона сечения, а в другой - точка сечения?

При построении сечений важно знать: е) общая точка секущей плоскости и плоскостей двух пересекающихся граней лежит на прямой, содержащей общее ребро граней С М В А Почему это важно? Что делаем, если в одной из пересекающихся граней есть две точки сечения, а в другой - еще одна?

Работаем устно Какой из четырехугольников EFKL или EFKM может быть сечением данного параллелепипеда? Почему? E F K M L

Работаем устно Ученик изобразил тетраэдр и сечение в нем. Возможно ли такое сечение? К 1

Работаем устно В тетраэдре проведены два отрезка, соединяющие точки на противоположных гранях. Можно ли по рисунку определить, пересекаются ли эти отрезки или нет? Если можно, то как? 123

Ответ: Рисунок 1 a А

Ответ: Рисунок 2 a А

Ответ: a Рисунок 3

Задача 1 Построить сечение тетраэдра АВСD плос- костью, проходящей через точки K, L, M, ле- жащие на ребрах АВ, АС и ВС соответственно. А В С К М D L (а) Используем трафарет Точка Грань Плоскость Линия пересечения Точка пересечения На которой оборвалось сечение в которой надо построить сечение 1)Принадлежит секущей плоскости 2) Не проходит через выбранную точку В которой лежит выбранная прямая Прямая L КМ нижняя задняя АС параллельны М правая КLКL левая BD Р Р N

Задача 2 Точки K, M лежат на гранях АВD, ВСD, точка L на ребре АС тетраэдра АВСD. Построить сечение тетраэдра плоскостью КLМ. А В С D K M L E F P N R T Чем задача отличается от предыдущей? Как поступаем в этом случае? Как поступаем, если есть 2 точки, лежащие в одной плоскости? Что дала дополнительная плоскость?

Задача 2 Точки K, L, M лежат на гранях АВD, ВСD, точка L на ребре АС тетраэдра АВСD. Построить сечение тетраэдра плоскостью АВСD.

Рисунок 2.4

Задача 3 Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью KLM, если все точки K, L, M лежат в плоскостях граней АВD, АВС, ВDС соответственно.

Рисунок 3.2

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Задача 4 Построить сечение тетраэдра АВСD плоскостью, проходящей через точки K, L, M, лежащих на ребрах АВ, АС и ВС соответственно. ( Использовать метод внутреннего проектирования )

Рисунок 4.2

Рисунок 4.3

Рисунок 4.4