Параллельность плоскостей Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Доказательство: Рассмотрим две плоскости а и в. В плоскости а лежат пересекающиеся в точке М прямые а и b, а в плоскости в прямые а1 и b1,причем а параллельна а1 и b параллельна b1, докажем, что а параллельна в. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости а и в. Допустим, что плоскости а и в не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость а проходит через прямую а, параллельную плоскости в и пересекает плоскость в по прямой с. Отсюда следует (по свойству 10), что а параллельна с. Но плоскость а проходит также через прямую b, параллельную плоскости в. Поэтому b параллельна c. Таким образом, через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Но это невозможно, так как по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и а параллельна в.

Свойства параллельных плоскостей 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Доказательство: Рассмотрим две параллельные прямые и а1 и плоскость а, такую, что а перпендикулярна альфа. Докажем, что и а1перпендикулярна альфа. Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости альфа. Так как а перпендикулярна альфа, то а перпендикулярна х. По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей а1 перпендикулярна х. Таким образом, прямая а1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости альфа, т. е. а1 перпендикулярна альфа.

Теорема Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.Доказательство: Данную плоскость обозначим буквой альфа, а произвольную точку пространства буквой М. докажем, что: 1) через точку М проходит прямая, перпендикулярная к плоскости а; 2) такая прямая только одна. 1) Проведем в плоскости альфа произвольную прямую а и рассмотрим плоскость в, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а. Обозначим буквой b прямую, по которой пересекаются плоскости альфа и в. В плоскости в через точку М проведем прямую с, перпендикулярную к прямой Ь. Прямая с и есть искомая прямая. Она перпендикулярна к плоскости альфа, так как перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости (с перпендикулярна Ь по построению и с перпендикулярна а, так как в перпендикулярна а). 2) Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая (обозначим ее через с1), перпендикулярная к плоскости альфа. Тогда с1 параллельна с, что невозможно, так как прямые с1 и с пересекаются в точке М. Таким образом, через точку М проходит только одна прямая, перпендикулярная к плоскости альфа.