Линейная алгебра и аналитическая геометрия Лектор Ефремова О.Н г. Тема: Плоскость

§ 2. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), перпендикулярно вектору N ̄ = {A; B; C}. Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости.

Уравнения(r ̄ – r ̄ 0, N ̄ ) = 0(1*) иA(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0 (1) называют уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) перпендикулярно вектору N ̄ = {A; B; C} (в век- торной и координатной форме соответственно). Уравнения(r ̄, N ̄ ) + D = 0(2*) иAx + By + Cz + D = 0 (2) называют общим уравнением плоскости (в векторной и координатной форме соответственно). ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа. 2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля, то уравнение называют полным. Если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным. 1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде С геометрической точки зрения a, b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответ- ственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках.

2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C – ненулевые, а D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax+By +Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0). 1 : By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz), 2 : Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy).

а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b соответственно и параллельна оси Oz; 3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A, B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскости один из следующих трех видов а) Ax+By+D = 0 или б) Ax+Cz+D = 0 или в) By+Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде

б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c соответственно и параллельна оси Oy; в) плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c соответственно и параллельна оси Ox. Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты.

4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz);

б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz); в) плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy). Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих координат.

5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один из коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0. Плоскость проходит через начало координат и ось отсутствующей координаты.

6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид а) Ax = 0 или б) By = 0 или в) Cz = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz; б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz, в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.

Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0). Тогда уравнение λ можно записать в виде cosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0, где D = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения плоскости называется нормальным уравнением плоскости. Обозначим: 1) P 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – основание перпендикуляра, опущенного на λ из начала координат, 2)n ̄ = {cos, cos, cos } – орт вектора, 3) – расстояние от начала координат до λ.

2. Другие формы записи уравнения плоскости 1)Уравнение плоскости, проходящей через точку парал- лельно двум неколлинеарным векторам ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) параллельно неколлинеарным векторам Другие формы записи: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикуляр- но вектору (см. уравнение (1) и (1*)); Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (3)); Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам; Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Уравнения(4*) и (4) называют уравнениями плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам (в векторной и координатной форме соответственно).

2)Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой – частный случай уравнения (4) Пусть плоскость проходит через три точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) и M 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ), не лежащие на одной прямой. Уравнения(5*) и (5) называют уравнениями плоскости, проходящей через три точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) и M 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ) (в векторной и координатной форме соответственно).

3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения плоскостей λ 1 и λ 2 имеют вид λ 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 λ 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Тогда N ̄ 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } – нормаль к λ 1 ; N ̄ 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } – нормаль к λ 2.

1) Пусть плоскости параллельны. Получаем, что плоскости λ 1 и λ 2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.

2) Пусть плоскости пересекаются. где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е. Критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями:

4. Расстояние от точки до плоскости ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка, не принадлежащая плоскости λ. Найти расстояние от точки M 0 до плоскости λ.