Модели производственно- технологического уровня Свойства производственной функции

Влияние масштаба производства на выпуск продукции Свойство однородности производственной функции математически выражает отдачу производственной системы от масштабов производства. В общем случае это свойство имеет вид: f(λx 1,λx 2,…,λx n )=λ δ f(x 1,x 2,…,x n ) f(λx 1,λx 2,…,λx n )=λ δ f(x 1,x 2,…,x n ) Математически для двух агрегированных факторов это свойство имеет вид: F(λK, λL) =λ δ F(K,L) где: δ – степень однородности функции. Неоклассические производственные функции являются однородными функциями первой степени (δ=1)

Влияние масштаба производства на выпуск продукции Для однородных функций справедлива теорема Эйлера: Для неоклассической производственной функции с агрегированными факторами производства K и L: (11.1) Из (11.1) получается выражение для δ Или через эластичности: δ=ε к + ε L

Влияние масштаба производства на выпуск продукции Для неоклассической производственной функции из теоремы Эйлера следует важное практическое свойство: M Yk K +M YL L = Y M Yk K +M YL L = Y Произведенный продукт Yможет быть представлен в виде суммы, где первое слагаемое показывает вклад затрат капитала, а второе – вклад затрат труда в произведенный продукт.

Влияние масштаба производства на выпуск продукции Задача. Производственная система описывается с помощью производственной функции со степенью однородности 1 и эластичностями ε L =0.25 и ε K =0.75. Система за период времени Т произвела 200 ед. продукции, затратив 50ед. Капитала и 10ед. Труда. Найти: вклад труда и капитала в произведенный продукт. 1. Средние продукты по факторам: A k = Y/K = 200/50=4; A L = Y/L = 200/10 = 20 A k = Y/K = 200/50=4; A L = Y/L = 200/10 = Предельные продукты по факторам: M YK = ε K A K = 0.25*4 = 1; M YL = ε L A L =0.75*20 = 15 M YK = ε K A K = 0.25*4 = 1; M YL = ε L A L =0.75*20 = Вклады труда и капитала: M YK K = 1*50 = 50ед; M YL L = 15*10 = 150ед M YK K = 1*50 = 50ед; M YL L = 15*10 = 150ед

Влияние масштаба производства на выпуск продукции. Задача планирования производства: Изучение влияния масштаба производства на его эффективность. Определение. Средний продукт масштаба производства: A Yλ = Y(λK, λL )/Y = λ δ-1 Y(K,L) A Yλ = Y(λK, λL )/Y = λ δ-1 Y(K,L) Определение. Предельный продукт масштаба производства: M Yλ = dY(λK, λL)/dλ = δλ δ-1 Y(K,L) M Yλ = dY(λK, λL)/dλ = δλ δ-1 Y(K,L) Определение. Коэффициент эластичности масштаба производства: ε λ = M Yλ /A Yλ =δ ε λ = M Yλ /A Yλ =δ Откуда следует, что для любой однородной функции имеет место тождество: Σε i = ε λ Σε i = ε λ

Влияние масштаба производства на выпуск продукции Производственная система с ε λ >1 имеет более высокую эффективность при увеличении масштаба производства: укрупнение производства приводит к повышению эффективности. Производственная система с ε λ

Линии равного уровня выпуска продукции (Изокванты) Определение. Множеством безразличия факторов называют множество наборов производственных факторов, при использовании которых уровень производства не изменяется. В случае двух агрегированных факторов множество безразличия производителя можно представить в виде карты линий равного выпуска продукции на координатной плоскости K-L, которые называют изоквантами. При перемещении вдоль таких линий выпуск продукции остается постоянным.

Линии равного уровня выпуска продукции (Изокванты) Линии равного уровня выпуска продукции (Изокванты) Свойства изоквант: 1. Изокванты не пересекаются. 2. Изокванта делит экономическую область на две части: D u и D L. В области D u более высокий уровень производства, в D L – более низкий. 3. Изокванты не пересекаются с осями координат. Уравнение изокванты: K = q(L,Y) K = q(L,Y) Y = Const для каждой изокванты. Y = Const для каждой изокванты. Пример. Пусть Y = 10K 0.25 L Найти уравнения изоквант. Найти уравнения изоквант. KL 3 = (Y/10) 4 откуда получаем K=(Y/10) 4 /L 3 Задавая конкретные значения Y, получим семейство изоквант на плоскости K-L. Задавая конкретные значения Y, получим семейство изоквант на плоскости K-L. В данном случае изокванты представляют собой кривые гиперболического вида.

Линии равного уровня выпуска продукции (Изокванты) Пример. Пусть Y = 10K 0.25 L Найти уравнение изокванты. K = (Y/10)4L -3 Задавая необходимые значения Y, получим семейство изоквант. Производитель, изменяя используемые технологии, может варьировать пропорцию между потребляемыми производственными факторами. Изокванты в экономической области имеют отрицательный наклон. K L Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3

Предельная норма замещения факторов При перемещении вдоль изокванты происходит непрерывное замещение одних факторов производства другими при неизменном уровне производства. Определение. Предельная норма замещения i-го фактора производства j-ым фактором равна дополнительному количеству j- го фактора, которое компенсирует уменьшение i-го фактора на единицу при постоянном уровне производства продукта и постоянном потреблении других факторов. Представив приращение производственной функции в виде ряда Тейлора, и, учитывая, что оно на изокванте равно нулю, получим: dF/dx i *dx i + dF/dx j *dx j = 0 (11.1) dF/dx i *dx i + dF/dx j *dx j = 0 (11.1) По определению предельная норма замещения i-го фактора j-ым есть: Γ ij = -dx j /dx i =(dF/dx i ) / dF/dx j ) (11.2) Замещение одного фактора другим обратимо. Предельная норма замещения i-го фактора j-ым может быть выражена через предельные продукты и эластичности: Γ ij =M Yj /M Yi = (ε i *x j )/(ε j *x i ) (11.3) Γ ij =M Yj /M Yi = (ε i *x j )/(ε j *x i ) (11.3)

Предельная норма замещения факторов В случае двух агрегированных факторов K и L это выражение (11.1) примет вид: dF(K,L)/dK*dK + dF(K,L)/DL*dL = 0 (11.4) dF(K,L)/dK*dK + dF(K,L)/DL*dL = 0 (11.4) Тогда предельная норма труда капиталом есть: Γ LK = - (dF(K,L)/dK) / (dF(K,L)/dL) (11.5) Γ LK = - (dF(K,L)/dK) / (dF(K,L)/dL) (11.5) Введем k = K/L - фондовооруженность труда. Тогда Γ LK = ε L K/ε K L = (ε L /ε K )k В случае степенной зависимости производственной функции от затрат капитала и труда F(K,L)=AK α L β коэффициенты зластичности постоянны во всей экономической области. Тогда: Γ LK = (α/β)*k Предельная норма замещения труда капиталом пропорциональна фондовооруженности производства.

Эластичность замещения факторов Определение. Эластичность замещения труда капиталом σ показывает на сколько процентов изменяется фондовооруженность k при изменении предельной нормы замещения Γ LK на 1 процент. σ LK = (dk/k)/(dΓ LK /Γ LK ) = (dk/dΓ LK )(Γ LK /k) σ LK = (dk/k)/(dΓ LK /Γ LK ) = (dk/dΓ LK )(Γ LK /k) Эластичность замещения труда капиталом равна величине относительного изменения фондовооруженности k при относительном изменении предельной нормы замещения труда капиталом на 1 процент. Теорема. Для однородной производственной функции эластичность замещения труда капиталом σ LK зависит только от фондовооруженности и остается постоянной вдоль лучей выходящих из начала координат.

Модели производственно- технологического уровня 5. Производственные функции с постоянной эластичностью замещения факторов (CES). Впервые производственные функции класса (CES) были введены американскими экономистами Эрроу и Солоу в 1961 году. В случае двух факторов K и L однородная производственная функция степени δ класса (CЕS) имеет вид: F(K,L) = (c 1 K -ρ + c 2 L -ρ ) -δ/ρ (11.6) F(K,L) = (c 1 K -ρ + c 2 L -ρ ) -δ/ρ (11.6) где: с 1 и с 2 константы; где: с 1 и с 2 константы; ρ = (1- σ LK )/ σ LK ρ = (1- σ LK )/ σ LK Уравнение (11.6) имеет смысл в случаях σ LK 1 и σ LK 0. Уравнение (11.6) имеет смысл в случаях σ LK 1 и σ LK 0.

Модели производственно- технологического уровня 5. Производственные функции с постоянной эластичностью замещения факторов (CES). Свойство функций класса (CES): асимптоты, проведенные к изоквантам такой функции параллельны осям координат, но их не касаются. Экономически это означает, для таких производственных систем невозможно полностью заменить труд капиталом. Существуют критические значения затрат факторов, ниже которых производство не возможно.

Модели производственно- технологического уровня 5. Производственные функции с постоянной эластичностью замещения факторов (CES). Частные случаи функций класса CES. 1. Функция Кобба-Дугласа. lim(F(K,L)) = cK α L δ-α = cK α L 1-α lim(F(K,L)) = cK α L δ-α = cK α L 1-α 2. Производственная функция Леонтьева lim(F(K,L)) = min(K δ /a, L δ /b) lim(F(K,L)) = min(K δ /a, L δ /b) 3. Линейная производственная функция lim(F(K,L)) = c 1 K + c 2 L lim(F(K,L)) = c 1 K + c 2 L σ=>1σ=>1 σ=>0σ=>0 σ=>

Производственная функция Кобба-Дугласа Y=F(K,L) =CK α L (1-α) Y=F(K,L) =CK α L (1-α) где: С и α имперические константы. где: С и α имперические константы. Функция предложена в 1928 году. Функция Кобба-Дугласа удовлетворяет всем условиям неоклассической производственной функции. При использовании данной функции предполагается выполнение следующих условий: - допускается замещение одним фактором другого; - постоянство эффективности использования факторов производства (отсутствие НТП); - неизменность эффективности единиц труда и капитала; - линейная зависимость объемов производства от изменения труда и капитала.

Производственная функция Кобба-Дугласа 6.1. Средняя и предельная фондоотдача производства: 6.2. Средняя и предельная производительность труда:

Производственная функция Кобба-Дугласа 6.3. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу: Для функции Кобба-Дугласа случай высокой эластичности по фондам соответствует низкой эластичности по труду и наоборот

Производственная функция Кобба-Дугласа 6.4. Средний и предельный продукты масштаба производства 6.5. Коэффициент эластичности масштаба производства Эффективность производственной системы с ПФ Кобба- Дугласа не зависит от масштаба производства

Производственная функция Кобба-Дугласа 6.6. Уравнения изоквант: K=(Y/C) 1/α L 1-α Асимптотами изоквант являются оси координат. Это показывает возможность полной замены одного фактора другим. Предельная норма замещения труда капиталом: Γ LK =ε L K/ε K L=(1-α)/α*k Эластичность замены труда капиталом 1. Наиболее адекватно ПФ Кобба-Дугласа описывает среднемасштабные производства.

Модели производственно- технологического уровня 7. Производственная функция Леонтьева. ПФ Леонтьева является функцией с постоянными пропорциями потребления факторов и описывает жесткие производственные процессы. Это означает, что в жестком технологическом процессе невозможна замена одного фактора другими и недостаток одного фактора нельзя компенсировать избытком другого. Функция Леонтьева для δ=1 имеет вид: F(K,L) = min(K/a, L/b) F(K,L) = min(K/a, L/b)

Модели производственно- технологического уровня 7. Производственная функция Леонтьева L*=K*a/b L Y L A YL Y пропорционально растет до достижения затрат труда L*=Ka/b Дальнейшее увеличение L не приводит к увеличению выпуска продукции. A YL = M YL при L Ka/b, затем A YL монотонно убывает, а M YL =0 L K K=aL/b Изокванта состоит из прямых параллельных осям координат

Модели производственно- технологического уровня 8. Линейная производственная функция. Линейная ПФ применяется для гибких производственных систем, которая характеризуется возможностями компенсации одних факторов другими и полного замещения факторов и крупномасштабных производств. Линейная ПФ не обладает рядом свойств неоклассической производственной функции: F(0,L)F(K,0)0; d 2 F/dk 2 =d 2 F/dL 2 =0; Предельные продукты факторов равны коэффициентам ПФ. L K Изокванты линейной ПФ пересекают оси координат. Предельная норма замещения труда капиталом Γ LK =b/a K=Y/a-bL/a