Исследовательский проект на тему: «Знаменитые задачи Наполеона» Подготовили: ученица 11 класса, Демидова Виктория, ученица 10 класса Гасанова Анна Научные руководители: Чулкова Надежда Андреевна, Чулкова Людмила Ивановна

Цель проекта – изучить геометрические задачи, составленные и решенные Наполеоном. Задачи проекта: 1) изучить имеющуюся литературу по данной теме; 2) доказать задачу императора с использованием геометрических преобразований; 3) рассмотреть современные способы доказательств задачи Наполеона; 4) разгадать головоломки Наполеона.

Гипотеза. Думаем, что теорема Наполеона утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках. Практическая значимость проекта состоит: - в использовании результатов работы на уроках математики, на занятиях математического кружка; - в повышении интереса к математике у учеников школы после доклада авторов проекта на конференции школьного научного общества; - в расширении математического кругозора у учащихся школы

Наполеон родился в Аяччо на острове Корсика, который долгое время находился под управлением Генуэзской республики. В 1755 году Корсика свергла генуэзское господство и с этого времени фактически существовала как самостоятельное государство под руководством местного землевладельца Паоло Паскале, секретарём которого был отец Наполеона. В 1768 году Генуэзская республика продала свои права на Корсику французскому королю Людовику XV. В мае 1769 года в битве при Понтенуово французские войска разгромили корсиканских повстанцев, и Паоло эмигрировал в Англию. Наполеон родился через 3 месяца после этих событий. Паоло вплоть до 1790-х годов оставался его кумиром.

За заслуги в математике Наполеон был избран академиком Французской академии наук. Среди прочих заслуг можно отметить следующее: Задача про равносторонние треугольники, носящая его имя. Он предложил простой способ построения квадрата одной линейкой с двумя засечками. Это решение стало существенным шагом к доказательству возможности при помощи только циркуля или только линейки с двумя засечками делать любые построения, выполнимые циркулем и линейкой без засечек.

«… Что было бы, если бы Наполеон в качестве своего поприща избрал бы не политику с военным делом, а науку, ту же математику? Пожалуй, был бы ещё один великий математик! Можно было бы добиться всемирной славы и самоутвердиться без массового кровопускания!»

На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Центры этих треугольников М, N, K являются вершинами еще одного равностороннего треугольника. Теорема Наполеона звучит так: «Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников тоже равносторонний». Рассмотрим одно из доказательств теоремы Наполеона

Пусть М, N, К - центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим точки М, N, К с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой (рис.1) По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ=МВ, ВN=NС, СК= КА; угол АМВ равен углу ВNС равен углу СКА равен 120°, а их сумма равна 360°. Выделим шестиугольник АМВNСК, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим. Получим фигуру, изображённую на рис.2. Отсекая теперь от этого шестиугольника треугольники МАК и NСК, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис.3, получаем четырёхугольник МDNK. Отрезок МN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DМК равны 120° каждый. Поэтому углы NМК и МNК равны 60° каждый. Следовательно, треугольник МNК равносторонний, что и требовалось доказать. Существуют так же и другие доказательства (геометрическое (из книги Г.С.М.Коксетера и С.Л.Грейтцера "Новые встречи с геометрией" (М., "Наука", 1978), с использованием поворота и теоремы Шалля и через комплексные числа)

Задача о равных треугольниках при искомой точке. В треугольнике ABC найти точку F, такую, что сумма расстояний от F до вершин A, B и C будет минимальна. Решение данной задачи имеет единственное ограничение: наибольший угол треугольника должен быть меньше 120. Решение: Пусть F - произвольная точка внутри треугольника. Повернем треугольник ABF вокруг вершины B наружу на 60.

В этом случае AF = A'F' и BF = B'F' по построению, BF = F'F, потому что треугольник BFF' равносторонний, значит сумма расстояний от F до A, B, C равна длине ломаной A'F'FC. Эта сумма станет минимальной, если F примет такое положение, что ломаная станет прямой. Для этого нужно, чтобы участок AF'F стал прямым, т. е. чтобы A'F'B и, следовательно, AFB равнялся 120. Необходимо еще, чтобы участок F'FC стал прямым, т. е. BFC равнялся 120. Третий угол при точке F автоматически станет равным 120. Итак, доказано, что все три угла при искомой точке F равны 120.

Задача о квадрате, вписанном в окружность Условие задачи Наполеона: необходимо найти вершины квадрата, вписанного в окружность с отмеченным центром. Решение, предложенное американским математиком Ф. Чини 1.Выбрать на окружности произвольную точку А. Провести через нее окружность того же радиуса, что и первая. 2. Затем из точки пересечения второй окружности с первой (точки E - первая вершина) провести третью окружность, пересекающую первую окружность (в точке D). 3. Провести из этой точки D первую дугу (DA), пересекающую первую исходную окружность в точке E (вторая вершина квадрата). 4. Из точки F - как из центра пересечения второй и третьей окружности (внешней по отношению к первой) провести дугу радиусом FO в точке G. 5.Оставшиеся две вершины квадрата H, I, вписанного в исходную окружность, получите, проведя дугу радиуса CG с центром в точке C.

Выводы Теорема Наполеона. «Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников тоже равносторонний». Эту красивую теорему приписывают известному великому полководцу и государственному деятелю Наполеону Бонапарту. Тем не менее, впервые опубликовал эту теорему У. Резерфорд в публикации в The Ladies Diary в 1825 году, спустя 4 года после с мерти Наполеона, так что возможно, что ее автором является и не полководец. Существуют так же и другие доказательства (геометрическое (из книги Г.С.М.Коксетера и С.Л.Грейтцера "Новые встречи с геометрией"), (М., "Наука", 1978), с использованием поворота и теоремы Шалля и через комплексные числа). Французский император Наполеон Бонапарт был любителем математики. Он находил время заниматься ею для собственного удовольствия, чувствовал в ней красоту и объект, достойный приложения остроумия и изобретательности. Одной из составленных Наполеоном Бонапартом геометрических задач является задача о равных треугольниках при искомой точке: в треугольнике ABC найти точку F, такую, что сумма расстояний от F до вершин A, B и C будет минимальна. Наполеон так же рассматривал задач о квадрате, вписанном в окружность: необходимо найти вершины квадрата, вписанного в окружность с отмеченным центром

Заключение Книг о Наполеоне более двухсот тысяч! Историки знают, во что одевался Наполеон, что было у него на ногах, сколько стоили его носовые платки, что он любил есть и во сколько завтракал, каким был распорядок его дня. Академик Фредерик Массон на рубеже XX века выпустил 13-томное исследование «Наполеон и его семья», посвященное практически всем сторонам жизни Наполеона. Но мало в них написано о математических способностях великого императора. Думаем, что наша работа даст возможность многим узнать о Наполеоне как о математике. Исследовательская работа позволила познакомиться с достижениями Наполеона Бонапарта в области различных наук. Мы изучили теорему Наполеона и ее доказательства, рассмотрели геометрические задачи и головоломку Наполеона. Данные знания позволили нам расширить наши возможности при решении различных геометрических задач, пополнили багаж наших знаний малоизвестными фактами. В работе представлен оригинальный нетрадиционный подход к доказательству теоремы Наполеона, что, безусловно, вызывает интерес. На наш взгляд, нам удалось проявить при этом смекалку и эрудицию. Работа носит исследовательский характер, открывает возможности решения известных задач новыми нешкольными методами. Большое место в работе занимает экскурс в историю. Гипотеза, выдвинутая перед началом работы, подтверждена. Поставленная цель достигнута, задачи решены.

Литература 1.Ришелье. Оливер Кромвель. Наполеон I. Князь Бисмарк: Биогр. Р 57 очерки. - М.: Республика, с.: ил. 2. Энциклопедический словарь юного математика, 2-е изд., исп.и доп./Сост. Э-68 А.П. Савин. - М.: Педагогика, с.: ил., стр Заславский А.А., Протасов В.Ю., Шарыгин Д.И. Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шарыгина - М.: МЦНМО, 2007 г с.МЦНМО 4. Задача Наполеона. Квант, 6, 1972, Березин В.Н Е. Андреева «Головоломка Наполеона» 7. Н.Н.Никитин, Г.Г.Маслова. Сборник задач по геометрии. Задача Анимация теоремы Наполеона collection.edu.ru/dlrstore/02b7798e-607d-88ff-f ec4cf0bb/napoleon.html 9. Задача/Теорема Наполеона Задача о квадрате, вписанном в окружность Березин В.Н.. Задача Наполеона. // Квант, 6, Савин А.П. Задача Наполеона. «Энциклопедический словарь Юного математика». Москва, издательство «Педагогика», Скопец А «Геометрические миниатюры.»\ сост. Г.Д. Глейзер. - М.: Просвещение, 1990