«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский Н.И. Лобачевский

Лови ошибку! Функции на своей области определения Производные Производные

Устно

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в точке. В 80,75

2. На рисунке изображен график производной функции, определенной на интервале. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней. В 83 у=1

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

Исаак Ньютон ( ) один из создателей дифференциального исчисления. Главный его труд - « Математические начала натуральной философии ».- оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания. Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл. Интересно : Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

« Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,- ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд ». Г. В. Лейбниц. ( ) Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференци - ального исчисления, ввёл большую часть современной символики матема - тического анализа. Лейбниц пришёл к понятию производной решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Архимед Р. Декарт Г.Галилей Ж. Лагранж Л. Эйлер Коши

Механическое движение- это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Механическое движение- это изменение положения тела относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость. Пусть закон движения тела задан уравнением s = s (t).Скорость неравномерного движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.

1. Найти производную s' = f '(t). 2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени. Если закон движения тела задан уравнением s = s (t), то для нахождения мгновенной скорости тела в какой - нибудь определенный момент времени надо :

Автомобиль приближается к мосту с начальной скоростью 72 км/ч. Автомобиль приближается к мосту с начальной скоростью 72 км/ч. У моста висит дорожный знак «36 км/ч».За 7 сек до въезда на мост водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой У моста висит дорожный знак «36 км/ч».За 7 сек до въезда на мост водитель нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если тормозной путь определяется формулой Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц. Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

ЗАДАНИЕ Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону Найти силу тока в момент времени t=5 c. Сила тока равна 2 А

А так же: если V(p) – закон изменения объема жидкости от внешнего давления p, то производная V / (p) есть мгновенная скорость изменения объема при внешнем давлении, равном p. Сила есть производная работы по перемещению, т.е. F=A / (x) Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q / (t) d(l)=m / (l) - линейная плотность K (t) = l / (t) - коэффициент линейного расширения ω (t)= φ / (t) - угловая скорость а (t)= ω / (t) - угловое ускорение N(t) = A / (t) - мощность

Задание Теплота Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 0 0 С до температуры t 0 (по Цельсию), известно, что в диапазоне 0 0 до 95 0, формула Q (t) = 0,396t+2, t 2 -5, t 3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t. Решение. C (t) = Q / (t) = 0, ,162*10 -3 t – 15,072*10 -7 t 2

Химия изучает закономерности протекания различных реакций. Химия – это наука о веществах, о химических превращениях веществ.

Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент времени t равна производной:

Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество в-ва в момент времени t 0 c = c(t) Функция Интервал времени t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение количества в-ва c = c(t+ t ) – c(t) Приращение функции Средняя скорость химической реакции c/t Отношение приращён. функции к приращён. аргументу V (t) = c (t) производная в химии Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени

ЗАДАНИЕ Найти скорость реакции в момент времени t = 10сек, если концентрация исходного продукта меняется по закону

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

Понятие на языке биологии Обозначение Понятие на языке математики Численность в момент времени t 1 x = x(t) Функция Интервал времени t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение численности популяции x = x(t 2 ) – x(t 1 ) Приращение функции Скорость изменения численности популяции x/t Отношение приращения функции к приращению аргумента Относительный прирост в данный момент Lim x/t Lim x/t t 0 t 0Производная Р = х (t)

Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), N (t) =kN(t). Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Пусть у = у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за t = t-t 0 y = k y t, где к = к р – к с –коэффициент прироста (к р – коэффициент рождаемости, к с – коэффициент смертности) y: t=k y При t 0 получим lim y/ t=у у= к у

П (t) = υ / (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции J(x) = y / (x) - предельные издержки производства, где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы, U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы. Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной: U'(t)=0,45t² - 4t Меньше оборот был на девятом месяце - 0,45. На 10 месяце - 5.

Всё смог ! Уроком доволен Не совсем всё понял, хочу понять Ничего не понялИ не хочу понимать !