Системы одновременных уравнений Лекция по курсу «Эконометрика-2» Фурманов К.К., кафедра математической экономики и эконометрики НИУ ВШЭ

Немного истории Основа рынка - взаимодействие спроса и предложения. Как оценить кривые спроса и предложения? Генри Мур (Moore, 1914, 1925): Спрос: Предложение: Оценивались по отдельности с помощью МНК с предварительным удалением тренда Для некоторых благ Мур обнаружил положительный наклон кривой спроса и решил, что сделал открытие. Его результат не убедил других учёных…

Немного истории (2) Положительная зависимость объёма от цены – скорее кривая предложения… (R.A. Lehfeldt, P.G. Wright) Движение кривой спроса при неподвижном предложении приводит к положительной статистической связи между ценой и объёмом.

Немного истории (3) А если движутся обе кривые, то статистическая связь не отражает ни одну из них! Картинка из работы (Wright, 1928), скопирована из статьи (Stock, Trebbi, 2003)

Немного истории (4) Вывод: данных о ценах и объёмах недостаточно для определения спроса и предложения! ЧТО ДЕЛАТЬ? Включить в модель дополнительные переменные.

Система уравнений «спрос»-«предложение» Модель равновесия на рынке скворечников: - спрос - предложение Q – объём производства/потребления скворечников, P – цена скворечника, Y – доход потребителя, W – цена древесины. Мы считаем, что наблюдаются состояния равновесия, так что производство и потребление совпадают. Система призвана определять равновесие (P,Q) при заданных значениях Y и W. P и Q – эндогенные переменные (определяемые внутри модели), Y и W – экзогенные переменные (задаваемые извне).

Система уравнений «спрос»-«предложение» (2) Экзогенные переменные будем считать детерминированными, эндогенные – случайными. В обычной регрессионной модели одна эндогенная переменная (объясняемая величина) и множество экзогенных (регрессоры). Решим нашу систему относительно P и Q: (хорошо бы проверить, легко мог ошибиться) Запись системы, в которой левая часть уравнений включает только эндогенные переменные, а правая - только экзогенные, называется приведённой формой системы одновременных уравнений. Первоначальная запись (уравнение спроса + уравнение предложения) называется структурной формой СОУ.

Система уравнений «спрос»-«предложение» (3) P коррелирует со случайными ошибками в обеих уравнениях => смещение и несостоятельность оценок МНК для коэффициентов уравнений исходной системы. Кстати, в прикладной статистике эндогенностью часто называется именно корреляция объясняющей переменной со случайной ошибкой. ЧТО ДЕЛАТЬ? Можно оценить коэффициенты приведённой формы с помощью МНК (в ней нет проблем с эндогенными объясняющими переменными), а из них получить коэффициенты структурной формы. Это - косвенный метод наименьших квадратов (Tinbergen, 1930). Полученные таким образом оценки состоятельны, если состоятельны оценки МНК для коэффициентов приведённой формы.

Система уравнений «спрос»-«предложение» (4) Допустим, мы оценили приведённую форму: Отсюда можно вывести спрос и предложение на рынке скворечников: - спрос - предложение Подумайте: - Как бы вы интерпретировали коэффициенты структурной формы? А приведённой? - Какая форма вид модели кажется вам более привязанной к реальным данным? Более осмысленной с точки зрения экономической науки?

Система уравнений «спрос»-«предложение» (5) А если выразить коэффициенты структурной формы не получится? Ведь система уравнений может не иметь решений или иметь их бесконечное множество! Что ж, есть и другие подходы: - двухшаговый метод наименьших квадратов (он же – метод инструментальных переменных), включающий косвенный МНК как частный случай. - метод максимального правдоподобия, - метод фиксированной точки, - и мало ли что ещё.

Двухшаговый МНК (метод инструментальных переменных) Пусть нужно оценить уравнение где - эндогенная величина, а все остальные объясняющие переменные экзогенны (можно рассмотреть и случай нескольких эндогенных переменных). Пусть имеется набор инструментальных переменных, удовлетворяющих условиям: 1)тесно коррелируют с, 2)не коррелируют с, 3)включают хотя бы одну переменную, не входящую в набор. Описан в работе Филипа Райта «The Tariff on Animal and Vegetable Oils» (Wright, 1928).

Двухшаговый МНК (2) (метод инструментальных переменных) Шаг 1. Прогнозы будут близки к истинным значениям, но при этом окажутся не эндогенными (т.к. инструменты тесно коррелируют с, но не с ). Шаг 2. (IV – instrumental variables).

Двухшаговый МНК (3) (метод инструментальных переменных) Оценки состоятельны (при некоторых условиях – см., например, Магнус-Катышев-Пересецкий). Особым образом нужно рассчитывать стандартные ошибки (посчитанные обычным способом на втором шаге некорректны, не учитывают, что на втором шаге в уравнение подставлен прогноз эндогенной переменной, а не её реальное значение). Откуда брать инструменты? Использовать экзогенные переменные из различных уравнений оцениваемой системы!

Пример: рынок вина в Австралии По ежегодным данным о винной промышленности в Австралии за годы оценивается система: Q – индекс потребления вина на душу населения, Pw – индекс цен на вино по отношению к ИПЦ, Pb – индекс цен на пиво по отношению к ИПЦ, A - реальные подушевые затраты на рекламу, S - индекс издержек хранения. Оценка уравнения спроса с помощью МНК: Коэффициент при цене вина положителен и значим (p-value=0.001)!

Пример: рынок вина в Австралии Оценим уравнение спроса двухшаговым МНК, взяв в качестве инструментов все экзогенные переменные системы. Стандартные ошибки посчитаны «по-правильному», с поправкой на двухшаговость. Коэффициент при цене вина положителен, но хотя бы незначим (p-value=0.256). Единственный фактор, значимый на уровне 5%, это доход. На уровне 10% - ещё и реклама (но со странным знаком). Не ахти какой прогресс… 1 шаг. 2 шаг.

Другие виды систем уравнений «Будто бы несвязанные регрессии» (Seemingly Unrelated Regressions – SUR), Модель Хекмана (её вы уже проходили), Многомерная пробит-модель (система уравнений бинарного выбора), Множественная логит-модель (multinomial logit – тоже проходили), Много чего можно придумать… НА СЕГОДНЯ ВСЁ!