«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство» Г. Вейль.

Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно прямой

Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам

Если отрезок MN симметричен отрезку M1N1 относительно прямой l то их длины равны

Если А- некоторая точка на плоскости, а В точка на прямой, то длина отрезка АВ будет наименьшей, если отрезок АB перпендикулярен l

Дана прямая l и точки Аи В по одну сторону от неё. Найдём на прямой точку М, чтобы путь из А в В через М был кротчайшим, т. е. длина ломаной АМВ была бы наименьшей. Построим точку А1, симметричную точке А относительно прямой l.. Проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой

Ученик нарисовал на доске окружность, отметил на ней точки А,В,С и стер ее, оставив лишь эти точки. Как восстановить окружность? Точка В и С симметричны относительно диаметра, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярны ему. Аналогично и точки А и В. Таким образом, построив, перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС, мы получим точку их пересечения. Это центр окружности.

Точки, симметричные точкам B4,B5,D3 относительно прямой A4D2; образ отрезка В4С2 в результате последовательного отражения его от осей B3D2 и B1B5; ось симметрии отрезков А3В4 и В4В5. Точки, симметричные точкам B4,B5,D3 являются В4,А3С2;образ отрезка является прямая В4А3;осью симметрии равна прямая A4D2