ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ Материалы к внекласным занятиям для учащихся 8-11 классов «КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ» Автор: учитель математики Масленникова Е.В. МОУ Александровская СОШ Иловлинского района Волгоградской области

Исключительное значение математике приписывала школа Платона, знаменитого философа древности ( ). Он основал свою школу в которой наряду с изучением основ философии изучалась математика. Платон и его школа позволяли для решения геометрических задач на построение пользоваться только циркулем и линейкой Такое требование привело к появлению в геометрии так называемых «невозможных задач», т.е. задач которые невозможно решить только указанными инструментами. Эти задачи древности стали знаменитыми потому, что в течении 2000 лет усилия многих математиков были направлены на их решение. ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

Классические задачи древности Платон родился в Афинах в 428 или 427 г. до н.э. в аристократической семье. Сначала он учился у Кратила, последователя Гераклита. Затем в возрасте двадцати лет стал учеником Сократа, оказавшего на него решающее влияние. После смерти Сократа в З99 г. он удалился на некоторое время в Мегару, к также учившемуся у Сократа Евклиду, основателю Мегарской школы, а затем возвратился в Афины. В возрасте сорока лет, он основал Академию, в которой преподавал до конца своих дней. Академия была обращена в сторону Востока. Платон не сделал, подобно Сократу, философию предметом социальной беседы; напротив, он жил в уединении, ограничившись кругом своих учеников

Классические задачи древности Школа Платона породила три классические «невозможные» задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга. Они сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи «доказать неразрешимость» была смелым шагом вперёд. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Немало преуспели в нестандартных и различных приближённых решениях любители математики среди них три знаменитые задачи древности особенно популярны. Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки. Задача о трисекции угла Задача о квадратуре круга Задача об удвоении куба

Классические задачи древности 1.Задача о трисекции угла (деление угла на три равные части) 2.Задача о квадратуре круга (построение квадрата, площадь которого равнялась бы площади данного круга. 3.Задача об удвоении куба (построение куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба S1 S2 S1=S2 V1 V2 V2=2V

Решение задачи о трисекции угла Уже Пифагорейцы умели делить прямой угол на три равные части при помощи построения равностороннего треугольника, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60. Успешное решение этой задачи дало толчок к постановке более общей задачи – о делении любого угла на три равные части. Задача эта была поставлена еще в V в. До н. э. и получила название у древних Греков задачи о трисекции угла. За её решение брались многие из лучших греческих математиков, но так и не решили. Однако если не ограничиваться указанными инструментами, то ее можно решить. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых. Классические задачи древности

Решение задачи о трисекции угла греческим математиком НИКОМЕДОМ O D K B P N A Z M Пусть AOB данный угол. Из т. К, принадлежащей стороне ОВ, на сторону ОА опускаем перпендикуляр KL и дополним треугольник OKL до прямоугольника ОDKL. Пусть луч ON пересекает KL и DN, продолжение DK, соответственно в т. M, N. Если Р- середина MN, то MP=PN=KP=OK. Следовательно MN=2OK. Таким образом, направление луча, отсекающего от данного угла его третью часть, мы найдем, если нам удастся построить на продолжении DK точку N так, чтобы MN=2OK На этом пункте и останавливалось все решение. НИКОМЕД довел решение задачи до конца с помощью кривой, названной им КОНХОИДОЙ. Классические задачи древности

Конхоида НИКОМЕДА Никомед ( Nικoμήδης, Nicomedes, III век до н. э.) древнегреческий математик. Впервые рассмотрел конхоиду, построил прибор для её вычерчивания; применил для нахождения двух средних пропорциональных между заданными величинами, а также для решения задач о трисекции угла и удвоении куба. Классические задачи древности

Решение задачи о трисекции угла греческим математиком АРХИМЕДОМ MD O A C B Решение Архимеда основано на лемме: Если в окружности из точки, лежащей вне её, проведены две секущие – одна через центр, а другая так, что внешний её отрезок равен радиусу окружности, то угол между секущими измеряется третьей частью большей из дуг, заключенных между его сторонами. При помощи этой доказанной леммой Архимед свел решение задачи к следующему: Дан угол АОВ. Опишем произвольным R=OA=OB окружность с ц. в вершине угла. Если удастся построить на окружности т. С, так чтобы MC=R, т. M,C,A принадлежали одной прямой, то на основании леммы задача была бы решена. Но решение только при помощи циркуля и линейки не находилось. Поэтому Архимед построил т. С, а значит и решил задачу при помощи линейки на которой была нанесена длина радиуса проведённой окружности. Классические задачи древности

Знаменитые геометрические задачи древности При решении этой задачи Архимед также открыл кривую, которая названа «Спиралью Архимеда» Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE. Описав окружность с центром O и радиусом и, проводим диаметр. Линейку CBна которой нанесена длина радиуса r (например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка Cскользила по продолжению диаметра, а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE. Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CBпрошло через заданную точку Aокружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка

Архимед (около 287–212 до н. э.), древнегреческий ученый, математик и механик. Развил методы нахождения площадей поверхностей и объемов различных фигур и тел. Его математические работы намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Архимед – пионер математической физики. Математика в его работах систематически применяется к исследованию задач естествознания и техники. Архимед – один из создателей механики как науки. Ему принадлежат различные технические изобретения. Классические задачи древности

Задача о квадратуре круга. Эта задача известна еще древним египтянам. Вот текст задачи из папируса АХМЕСА Дано круглое поле диаметром 9 мер. Каково содержание его поверхности? Вопрос о квадратуре круга древними египтянами был решен опытным путем. Они предполагали, что круг и квадрат со стороной, равной диаметру, египтяне покрывали сплошным слоем семян в один ряд. Простой подсчет числа семян на каждой из этих фигур сразу убеждал, что на площади квадрата семян больше. Постепенно уменьшая сторону квадрата и повторяя опыт с семенами, они пришли к выводу, что число зерен на площади квадрата будет совпадать с числом зерен круга только когда сторона квадрата равна 8/9 длины диаметра. Классические задачи древности

Задача о квадратуре круга Были найдены и другие пути определения квадратуры круга: кроме циркуля и линейки использовали другие инструменты или специально построенные кривые. Так, в V в. до н.э. греческий математик Гиппий из Элиды изобрел кривую, впоследствии получившую название квадратрисы Динострата (ее назвали по имени другого древнегреческого математика, жившего несколько позже и указавшего способ построения квадратуры круга при помощи этой кривой). Многие греческие математики АНАКСАГОР, ДЕЙНОСТРАТ, АНТИФОН, БРИЗОН, ГИППОКРАТ и другие стремились решить эту задачу. Классические задачи древности

Задача о квадратуре круга История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой. Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна а так как площадь круга равна S = то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат. r O d r Классические задачи древности

Задача о квадратуре круга Пусть ABCD-квадрат. Сторона АВ равномерно вращается около т.А, и её конец В описывает дугу BD. Одновременно с началом вращения АВ начинает перемещаться вниз сторона ВС. Когда радиус АВ совместится со стороной AD, BC также совместится с ней. Геометрическое место указанных точек пересечения и есть квадратриса ВЕ Её основное свойство: где l –длина дуги BFD A D B C M1 M2 M3 Mk E Классические задачи древности

Классические задачи древности Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать

Квадратурой круга занимался также самый знаменитый геометр V в. до н.э. – Гиппократ Хиосский. У многих занимавшихся этой задачей возникало сомнение, возможно ли вообще построить прямолинейную фигуру, равновеликую криволинейной. Эта возможность была доказана Гиппократом, построившим лунообразные фигуры (Рис.1), известных под названием «гиппократовых луночек». В полукруг с диаметром ВС вписан равнобедренный прямоугольный треугольник BAC. На ВС и АВ, как на диаметрах, описываются полуокружности. Фигуры-мениски ALBM и ADCE, ограниченными круговыми дугами, и называются луночками.. Отношение площадей кругов или полукругов BMAEC и AECD равно, как впервые доказал сам Гиппократ, отношению квадратов соответствующих диаметров. Классические задачи древности

Классические задачи древности Гиппократ родился на острове Кос за 460 лет до нашей эры. Гиппократ принадлежал к роду Асклепиадов - корпорации врачей, притязавшей на то, что она ведет свое происхождение от Асклепия, великого врача гомеровских времен. Занимался естественными науками и математикой

Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов. Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению x3 = 2a3, илиx = Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а2, служит отрезок длиной а, т.е. диагональ данного квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а3, т.е. отрезок х, равный, не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в. Классические задачи древности

Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой. На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией». Классические задачи древности

Гиппократ Хиосский, знаменитый геометр V в. до н. э., свёл удвоение куба к построению «двух средних пропорциональных» х и у для данных отрезков а и b, т. е. к решению уравнений a : x =x : y = y : b (при b=2a получаем x=a). Эту идею удалось реализовать Платону около 340 г. до н. э. с помощью нетрадиционных чертёжных инструментов двух прямых углов. Менехм примерно в.350 г. до н. э. решал задачу об удвоении куба, используя конические сечения кривые, по которым плоскости пересекают конус. Свои решения дали также крупнейшие древнегреческие математики Евдокс, Эратосфен, Аполлоний, Герон, Папп и др. Классические задачи древности

Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Иной, пожалуй, по этому поводу скажет, что, следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Попытка Колумба открыть новый путь в Индию, плывя всё на запад, окончилась, как известно, неудачей. И теперь мы знаем, что так необходимо и должно было случиться. Но гениальная попытка великого человека привела к «попутному» открытию целой новой части света, перед богатством и умственным развитием которого бледнеют ныне все сокровища Индии. Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам. Классические задачи древности