Задачи на построение с помощью одной линейки Задачи на построение с помощью одной линейки Выполнила: Иванченко И.А. Выполнила: Иванченко И.А.

О решении задач на построение Решение задач на построение состоит из 4 этапов: АнализПостроениеДоказательствоИсследование

Теорема Дезарга Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.) Если прямые, соединяющие соответственные вершины двух треугольников, пересекаются в одной точке, то соответственные прямые, содержащие стороны треугольников пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой (см. рис.) S B A C U A/A/ B/B/ C/C/ V W

Доказательство теоремы Дезарга Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Докажем теорему Дезарга с помощью теоремы Менелая. Теорема Менелая. Точки A 1, B 1 и C 1, расположенные соответственно на прямых BC, CA, AB и не совпадающие с вершинами треугольника ABC, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (см. рис.) Теорема Менелая. Точки A 1, B 1 и C 1, расположенные соответственно на прямых BC, CA, AB и не совпадающие с вершинами треугольника ABC, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда (см. рис.) AB 1 CA 1 BC 1 AB 1 CA 1 BC 1 * * = -1. * * = -1. B 1 C A 1 B C 1 A B 1 C A 1 B C 1 A C1C1 A B A1A1 C B1B1

Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой, рассмотрим АВС и точки U, V, W, лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что Для доказательства принадлежности точек U, V, W одной прямой, рассмотрим АВС и точки U, V, W, лежащие на прямых, содержащих стороны АВ, ВС, АС этого треугольника и докажем, что Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SАВ, SBC, SAC и их секущих (A / B / ), (В / С / ), (А / С / ) соответственно. Тогда для SАВ и секущей (А / В / ) имеем: Для этого применим теорему Менелая для треугольников, SАВ, SBC, SAC и их секущих (A / B / ), (В / С / ), (А / С / ) соответственно. Тогда для SАВ и секущей (А / В / ) имеем: Для SВС и секущей (В / С / ) имеем: Для SВС и секущей (В / С / ) имеем: S A B C WU V A/A/ B/B/ C/C/

Для SАС и секущей (А / С) имеем: Для SАС и секущей (А / С) имеем: Умножим на и поделим Умножим на и поделим на Получаем: на Получаем: В итоге получили равенство В итоге получили равенство S B A C U A/A/ B / C/C/ V W

Модификации теоремы Дезарга Теорема 1. Теорема 1. Дано: ABC и A / B / C / таковы, что Дано: ABC и A / B / C / таковы, что AA / BB / CC / = S, AA / BB / CC / = S, AB A / B / = U, AB A / B / = U, BC B / C / = V, BC B / C / = V, AC A / C / = W. AC A / C / = W. Доказать: что W, V, U Доказать: что W, V, U лежат на одной прямой. лежат на одной прямой. S B C A U VW A/A/ C/C/ B/B/

Теорема 2. Дано: ABC и A / B / C / Дано: ABC и A / B / C / AA / // BB / // CC /, AA / // BB / // CC /, AB A / B / = X, AB A / B / = X, BC B / C / = Y, BC B / C / = Y, AC A / C / = Z. AC A / C / = Z. Доказать: X, Y, Z Доказать: X, Y, Z лежат на одной прямой. лежат на одной прямой. A B C X Y Z C/C/ B/B/ A/A/

Теорема 3. Дано: ABC и A / B / C / AA / BB / CC / = S, AA / BB / CC / = S, AB A / B / = X, AB A / B / = X, BC B / C / = Y, BC B / C / = Y, AC // A / C / AC // A / C / Доказать: XY//AC C B A S YX A/A/ B/B/ C/C/

Теорема 4. Дано: ABC и A / B / C / Дано: ABC и A / B / C / AA / BB / CC / = S, AA / BB / CC / = S, AB // A / B /, AB // A / B /, BC // B / C /, BC // B / C /, Доказать: AC // A / C / Теорема 5. Дано: ABC и A / B / C / AA / // BB / // CC /, AA / // BB / // CC /, AB // A / B /, AB // A / B /, AC // A / C / AC // A / C / Доказать: BC//B / C / Доказать: BC//B / C / S B AC B/B/ C/C/ A/A/ A B C A/A/ B/B/ C/C/

Применение теоремы Дезарга для построения параллельных прямых (с помощью одной линейки) Задача. Даны две различные параллельные прямые а и b и точка А, не лежащая на них. Через точку А проведите прямую, параллельную данным прямым. Задача. Даны две различные параллельные прямые а и b и точка А, не лежащая на них. Через точку А проведите прямую, параллельную данным прямым.

Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку А параллельно прямым а и b (см. рис.) Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и рисунок, иллюстрирующий теорему. Вспомним теорему Дезарга, где треугольники содержат одну пару параллельных сторон (см.теорема3), сопоставим этот рис. и рисунок, иллюстрирующий теорему. Теорема 3 Теорема 3 a c b A C B A S YX A/A/ B/B/ C/C/

В этой задаче первоначальный рисунок ничего не выражает. В нашем случае прямые а и в – это прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Тогда точка А является точкой пересечения одной пары соответственных сторон. Ещё одна пара соответственных сторон должна пересекаться в точке, также лежащей на с. Построение, таким образом, сводится к построению двух треугольников, одна пара соответственных сторон которых лежит на прямых а и в. Поэтому на прямых а и в возьмем произвольные отрезки: [С 1 В 1 ] а, [СВ] в в качестве соответственных сторон, а вторая пара сторон пересекается в точке А. a c b A C B A S YX A/A/ B/B/ C/C/

(С / С) (В / В) = S, S – точка, в которой пересекаются прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников. Вторая пара сторон искомых треугольников лежит на прямых (А / С / ) и (АС). (Теорема Дезарга, см. рис.) S A B C WU V A/A/ B/B/ C/C/

Построение: Построение: 1. 1.Берем точки С 1, В 1 а 2. 2.Берем точки С, В, в 3. 3.S = (СС 1 ) (ВВ 1 ) 4. 4.Проведем произвольную прямую l S 5. 5.О 1 = l (С 1 А) О = l (СА) 6. (В 1 О 1 ) (ВО) = А (АА 1 ) = с – искомая l Доказательство: Доказательство: Рассмотрим С 1 О 1 В 1 и СОВ. (СС 1 ) (ВВ 1 ) (ОО 1 ) = S по построению. Точки А = (С 1 О 1 ) (СО) и А 1 = (В 1 О 1 ) (ВО) определяют прямую с. Поскольку (С 1 В 1 ) // (СВ), то с // а // в. Рассмотрим С 1 О 1 В 1 и СОВ. (СС 1 ) (ВВ 1 ) (ОО 1 ) = S по построению. Точки А = (С 1 О 1 ) (СО) и А 1 = (В 1 О 1 ) (ВО) определяют прямую с. Поскольку (С 1 В 1 ) // (СВ), то с // а // в. С1С1 В1В1 a C Bb S А О О1О1 А1А1

Исследование: Исследование: Задача всегда имеет единственное решение, так как через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной. Задача всегда имеет единственное решение, так как через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Задача с недоступными элементами Точку называют недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности, аксиома линейки и циркуля. Фигура считается недоступной, если все ее точки недоступны. Недоступная точка считается заданной (известной), если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке.

Задача. Даны две прямые а и в, пересекающиеся в недоступной точке L (т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую точку L с данной (доступной) точкой М. Задача. Даны две прямые а и в, пересекающиеся в недоступной точке L (т.е. лежащей вне пределов чертежа); построить прямую, соединяющую точку L с данной (доступной) точкой М. Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку М и точку L (см. рис.) Для проведения анализа вспомним теорему Дезарга и сделаем к этой теореме рисунок. Решение. Анализ. Пусть задача решена и прямая с проходит через точку М и точку L (см. рис.) Для проведения анализа вспомним теорему Дезарга и сделаем к этой теореме рисунок. недоступная часть недоступная часть M c M c L b a

Так как точки М и L лежат на одной прямой, то можно рассмотреть их как точки пересечения соответственных сторон треугольников, а прямые а и в взять как прямые ВС и В'С', то есть прямые, на которых лежат две соответственные стороны треугольников с осью с. Таким образом, построение сводится к построению двух треугольников, две стороны которых лежат на сторонах а и в, а другая пара соответственных сторон пересекаются в точке М. Необходимо построение проводить таким образом, чтобы прямые пересекались в доступной части чертежа. L b a M S B C A U VW A/A/ C/C/ B/B/

Построение: Построение: 1. Возьмем точки А, В а; А /, В / b (см. рис.) 2. Точка S = (АА / ) (ВВ / ). 3. Проведем произвольную прямую l: S l. 4. С 1 = (В / М) l, С = (ВМ) l. С = (ВМ) l. 5. (АС) (А / С / ) = М 1 6.(ММ 1 ) = с – искомая. Доказательство: Рассмотрим АВС и А / В / С /. Рассмотрим АВС и А / В / С /. В них: (ВВ / ) (АА / ) (СС / ) = S (ВВ / ) (АА / ) (СС / ) = S (АС) (А / С / ) = М 1, (АС) (А / С / ) = М 1, (ВС) (В / С / ) = М, (ВС) (В / С / ) = М, (АВ) (А / В / ) = а в = L, (АВ) (А / В / ) = а в = L, следовательно, по теореме 1 точки М, М 1 и L лежат на одной прямой. следовательно, по теореме 1 точки М, М 1 и L лежат на одной прямой. a A B b А/А/ В/В/ S l LM С С/С/ М1М1

Поляра Четыре точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, образуют гармоническую четверку, если Четыре точки A, B, C, D, лежащие на одной прямой, образуют гармоническую четверку, если AC AD AC AD : = -1. : = -1. CB DB CB DB Задача. Задача. Из данной точки A проведены к данной окружности с центром O касательные AK 1, AK 2 и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, а отрезок K 1 K 2 – в точке B. Докажите, что точки A, B, C и D образуют гармоническую четверку. Из данной точки A проведены к данной окружности с центром O касательные AK 1, AK 2 и секущая, пересекающая окружность в точках C и D, а отрезок K 1 K 2 – в точке B. Докажите, что точки A, B, C и D образуют гармоническую четверку.

Доказательство: Введем систему координат с началом в точке A, как показано на рисунке. Пусть B 1, C 1, D 1 – проекции точек B, C, D на ось абсцисс. Докажем, что точки A, B 1, C 1, D 1 образуют гармоническую четверку. Отсюда сразу же последует, что точки A, B, C, D также образуют гармоническую четверку. Уравнение окружности запишем в виде (x – a) 2 + y 2 = R 2 (2) (x – a) 2 + y 2 = R 2 (2) где a = AO, R – радиус окружности, а уравнение секущей AD – в виде где a = AO, R – радиус окружности, а уравнение секущей AD – в виде y = kx (3) y = kx (3) где k – некоторое число. Координаты точек C и D удовлетворяют уравнениями (2) и (3). Если подставить y = kx в уравнение (2), то придем к квадратному уравнению (1 + k 2 ) x 2 – 2ax + a 2 – R 2 = 0 (4) (1 + k 2 ) x 2 – 2ax + a 2 – R 2 = 0 (4) x y A K2K2 C K1K1 D B D1D1 OB1B1 C1C1

корни x 1 и x 2 которого равны абсциссам точек C и D, т.е. AC 1 = x 1, AD 1 = x 2. По теореме Виета 2a a 2 – R 2 2a a 2 – R 2 x 1 + x 2 =, x 1 x 2 =, x 1 + x 2 =, x 1 x 2 =, 1+ k k 2 1+ k k 2 2x 1 x 2 a 2 – R 2 2x 1 x 2 a 2 – R 2 откуда = (5) x 1 + x 2 a x 1 + x 2 a Рассматривая прямоугольный треугольник AOK 1, нетрудно Рассматривая прямоугольный треугольник AOK 1, нетрудно a 2 – R 2 a 2 – R 2 установить, что AB 1 =. Поэтому если положить AB 1 = x 0, a то равенство (5) можно записать в виде 2x 1 x 2 2x 1 x 2 = x 0, или x 1 (x 2 – x 0 ) – x 2 (x 0 – x 1 ) =0. = x 0, или x 1 (x 2 – x 0 ) – x 2 (x 0 – x 1 ) =0. x 1 +x 2 x 1 +x 2

Отсюда, учитывая, что Отсюда, учитывая, что x 1 (x 2 – x 0 ) = AC 1 * B 1 D 1, x 2 (x 0 – x 1 ) = AD 1 * C 1 B 1, x 1 (x 2 – x 0 ) = AC 1 * B 1 D 1, x 2 (x 0 – x 1 ) = AD 1 * C 1 B 1, получаем: получаем: AC 1 * B 1 D 1 – AD 1 * C 1 B 1 =0, AC 1 * B 1 D 1 – AD 1 * C 1 B 1 =0, а это и означает, что точки A, B 1, C 1, D 1 образуют гармоническую четверку. а это и означает, что точки A, B 1, C 1, D 1 образуют гармоническую четверку. 2x 1 x 2 2x 1 x 2 Равенство = x 0 можно доказать и не прибегая Замечание. Равенство = x 0 можно доказать и не прибегая x 1 + x 2 к рассмотрению треугольника AOK 1. В самом деле, соотношение 2x 1 x 2 a 2 – R 2 2x 1 x 2 показывает, что величина не зависит от = показывает, что величина не зависит от x 1 + x 2 a x 1 + x 2 k, т.е.имеет одно и то же значение для любой прямой, описываемой уравнением y = kx. Возьмем k таким, чтобы уравнение y = kx было уравнением касательной AK 1. Тогда оба корня x 1 и x 2 квадратного уравнения Тогда оба корня x 1 и x 2 квадратного уравнения (1 + k 2 ) x 2 – 2ax + a 2 – R 2 = 0 будут равны абсциссе точки K 1, т.е. будут равны x 0.

Но в этом случае Но в этом случае 2x 1 x 2 2x 0 x 0 2x 1 x 2 2x 0 x 0 = = x 0, = = x 0, x 1 + x 2 x 0 +x 0 x 1 + x 2 x 0 +x 0 2x 1 x 2 2x 1 x 2 а значит, и для любой другой прямой = x 0 x 1 + x 2 x 1 + x 2 Прямая K 1 K 2 называется полярой данной точки A относительно данной окружности. Если точка B не лежит на поляре, а прямая AB пересекает окружность в точках C и D, то можно сделать такой вывод: Прямая K 1 K 2 называется полярой данной точки A относительно данной окружности. Если точка B не лежит на поляре, а прямая AB пересекает окружность в точках C и D, то можно сделать такой вывод: если данная точка A лежит вне данной окружности, то множество точек B, для каждой из которых точки пересечения прямой AB и окружности гармонически разделяют точки A и B, представляет собой часть поляры точки A относительно данной окружности, лежащую внутри этой окружности. если данная точка A лежит вне данной окружности, то множество точек B, для каждой из которых точки пересечения прямой AB и окружности гармонически разделяют точки A и B, представляет собой часть поляры точки A относительно данной окружности, лежащую внутри этой окружности.