О мир, пойми! Певцом –во сне – открыты Закон звезды и формула цветка. М. Цветаева. Математика дает универсальные инструменты для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Её изучение делает шире и богаче наши возможности математического описания окружающего мира.

Живые графики Мастер класс по теме: «Уравнения и системы уравнений с двумя переменными. Различные способы решения.» Князева Ольга Александровна ГОУ лицей 1557

Системы линейных уравнений с параметрами

Общий вид линейной системы двух уравнений с двумя неизвестными x и y. Линейные системы Решение системы – это пара чисел (x; y), при подстановке которых каждое уравнение превращается в верное числовое равенство. Какие бывают системы?

Рассмотрим систему линейных уравнений 0 y x Система не имеет решений, если

Рассмотрим систему линейных уравнений 0 y x Система имеет бесконечное множество решений, если

Рассмотрим систему линейных уравнений 0 y x Система имеет единственное решение, если

Исследование линейного уравнения с параметром - это первый шаг в познании методов исследования систем линейных уравнений с большим количеством неизвестных, которые имеют широкое применение на практике.

Так, в задачах математической экономики можно найти системы, состоящие из нескольких сотен уравнений с таким же примерно числом неизвестных. Для их решения разработаны мощные машинные методы. Основную роль при этом играют компактные способы записи систем и их преобразований. Представьте себе: система из тысячи уравнений с тысячью неизвестными содержит миллион коэффициентов.

Мы пока стоим на пороге познания методов исследования реальных процессов. Математика дает нам универсальные методы для будущей профессиональной работы в различных областях науки и практики.

Уравнения и системы уравнений с параметрами различного вида

«Виетовская система». Простейшая симметричная система с двумя неизвестными имеет вид Симметричные системы Решение простейшей симметричной системы

Геометрически решения системы – координаты точек пересечения… Симметричные системы Решение простейшей симметричной системы xy = b (b < 0) x y x + y = a P 1 (x 1 ; y 1 ) P 2 (x 2 ; y 2 ) прямой x + y = a и гиперболы xy = b. Ответ: (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ). Отметим, что при b < 0 прямая x + y = a всегда пересекает гиперболу xy = b, которая расположена во 2 и 4 четверти.

Симметричные системы Решение простейшей симметричной системы x y P 1 (x 1 ; y 1 ) P 2 (x 2 ; y 2 ) При b > 0 прямая x + y = a может: пересекать гиперболу в двух точках; касаться гиперболы (в одной точке); P (x; y) не иметь с гиперболой общих точек. xy = b (b > 0)

Виетовская система. Симметричные системы По теореме, обратной к теореме Виета, ее решение сводится к решению квадратного уравнения Следует признать, что если система имеет не более двух решений, и если эти решения угадываются, то никаких специальных выкладок не нужно. Решение простейшей симметричной системы t 2 – at + b = 0

Построим графики уравнений. а) у=х 2 -2х или у = (х-1) Это квадратичная функция, график –парабола с вершиной (1;-1), ветви которой направлены вверх. б)уравнение (х-1) 2 +(у - а) 2 =1 описывает окружность с радиусом R=1, центром (1; а). С изменением параметра а окружность перемещается по прямой х=1. Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем то значение параметра а при котором графики имеют одну общую точку, а значит система имеет единственное решение. 1) При каком значении параметра а, система имеет единственное решение

Ответ: а=-2.

Построим графики уравнений: а)уравнение х 2 +у 2 =4 описывает окружность с радиусом R=2, центром (0;0). б) уравнение |х - а|+|у|=1 описывает квадрат. При а=0 центром квадрата будет точка (0;0), вершинами - точки: (0;1), (1,0),(-1;0), (0;-1). С изменением параметра а, квадрат перемещается по прямой у=0. Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну или две общие точки. Выберем те значения параметра а,при котором графики имеют одну общую точку, а значит система имеет единственное решение. С изменением параметра а, квадрат перемещается по прямой у=0. Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну или две общие точки. Выберем те значения параметра а,при котором графики имеют одну общую точку, а значит система имеет единственное решение. 2) Найти наименьшее значение параметра а, при котором система имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если а=-3, а=-1, а=1, а=3.Условию удовлетворяет наименьшее из этих чисел: а=-3. Ответ: -3

Построим графики уравнений: а)уравнение х 2 +у 2 =1 описывает окружность с радиусом R=1, центром (0;0). б) у-|х|=a или у=|х|-a, графиком этого уравнения является ломаная, ветви которой направлены вверх. (0;0) - точкa излома. С изменением параметра а ломаная перемещается по прямой х=0. Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем то значение параметра а,при котором графики имеют две общие точки, а значит система имеет ровно два решения. С изменением параметра а ломаная перемещается по прямой х=0. Система имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем то значение параметра а,при котором графики имеют две общие точки, а значит система имеет ровно два решения. 3) Найти целое значение параметра а, при котором система имеет ровно два решения

Случай касания не удовлетворяет условию, так как мы ищем мы ищемцелоезначение параметра а. параметра а. При -1

Построим графики функций: у =|х 2 -2x-3| и у = а. а) график функции у =|х 2 -2x-3| получается в результате симметричного отображения графика функции у=х 2 -2x-3 симметрично относительно оси Ох. б) графиком функции у = а является прямая, параллельная оси Ох, проходящая через точку (0;а). С изменением параметра а, прямая перемещается вдоль оси Оу, параллельно оси Ох. Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем те значения параметра а,при котором графики имеют три общие точки, а значит уравнение имеет три решения. С изменением параметра а, прямая перемещается вдоль оси Оу, параллельно оси Ох. Уравнение имеет столько решений, сколько общих точек имеют графики. Графики могут не иметь общих точек, иметь одну, две или три общие точки. Выберем те значения параметра а,при котором графики имеют три общие точки, а значит уравнение имеет три решения. 4) При каком значении параметра а,уравнение имеет три корня

При а=4 графики имеют три общие точки, а значит уравнение имеет три решения. Ответ : 4

Построим графики функций: у=х|х-4| и у=а. а) если x

При а=0 и а=4 графики имеют две общие точки, а значит уравнение имеет два решения. Наибольшее значение параметра а=4. Ответ : 4

Вывод: Необходимость рассматривать уравнения с буквенными коэффициентами возникает часто. Прежде всего, это полезно тогда, когда формулируются некоторые общие свойства, присущие не одному конкретному уравнению, а целому классу уравнений. Разумеется, то, что в уравнении одни буквы мы считаем неизвестными, а другие – параметрами, в значительной степени условно. В реальной практике из одного и того же соотношения между переменными приходится выражать одни переменные через другие, то есть решать уравнение относительно одной буквы, считая ее обозначением неизвестного, а другие буквы параметрами.