ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку пересечения прямой a с плоскостью π обозначим A. Она называется ортогональной проекцией точки A на плоскость π. Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их ортогональные проекции A, называется ортогональным проектированием на плоскость π. Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром. Отрезок AA называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость π.

Теорема о трех перпендикулярах Теорема. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной. Доказательство. Пусть прямая c плоскости π перпендикулярна проекции AB наклонной AB, AA – прямая, перпендикулярная плоскости π, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AA. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АAВ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ.

Упражнение 1 Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной. Доказательство. Пусть прямая c плоскости π перпендикулярна наклонной AB, AA – прямая, перпендикулярная плоскости π, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AA. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АAВ и, следовательно, она будет перпендикулярна ортогональной проекции AB наклонной АВ.

Упражнение 2 Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости. Доказательство. Пусть AB – наклонная к плоскости π, AA – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость. Соединим отрезком точки A и B. Треугольник AAB прямоугольный, AB – гипотенуза, AA – катет. Следовательно, AA < AB.

Может ли ортогональная проекция отрезка быть: а) меньше отрезка; б) равна отрезку; в) больше отрезка? Упражнение 3 Ответ: а) Да;б) да;в) нет.

Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»? Ответ: Нет. Упражнение 4

К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника? Ответ: Да. Упражнение 5

Точка M равноудалена от всех точек окружности. Верно ли утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр? Ответ: Да. Упражнение 6

Найдите ГМ оснований наклонных одинаковой длины, проведённых к данной плоскости из данной точки. Ответ: Окружность. Упражнение 7

Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек. Упражнение 8 Ответ: Плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и перпендикулярная этому отрезку.

Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от трех данных точек, не принадлежащих одной прямой. Упражнение 9 Ответ: Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника с вершинами в данных точках, и перпендикулярная плоскости этого треугольника.

Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший. Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший. Упражнение 10

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 укажите ортогональную проекцию точки A на плоскость: а) BCC 1 ; б) BDD 1 ; в)* BDA 1. Ответ. а) точка B; Упражнение 11 б) точка пересечения прямых AC и BD; в) точка пересечения прямых AC 1 и плоскости BDA 1.

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 укажите ортогональную проекцию отрезка AB 1 на плоскость: а) ABC; б) BCC 1 ; в) BDD 1. Ответ. а) отрезок AB; Упражнение 12 б) отрезок BB 1 ; в) отрезок, соединяющий точку B 1 и середину отрезка BD.

В единичном кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите длину ортогональной проекции отрезка AB 1 на плоскость BDD 1. Упражнение 13 Ответ.

Докажите, что диагональ BD 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 перпендикулярна прямой AB 1. Упражнение 14 Доказательство. Ортогональной проекцией прямой BD 1 на плоскость ABB 1 является прямая BA 1, которая перпендикулярна прямой AB 1. По теореме о трех перпендикулярах, прямая BD 1 перпендикулярна прямой AB 1.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 укажите ортогональную проекцию отрезка AC 1 на плоскость: а) ABC; б) BCC 1. Ответ. а) отрезок AC; Упражнение 15 б) отрезок, соединяющий точку C 1 и середину отрезка BC.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите длину ортогональной проекции отрезка AC 1 на плоскость BCC 1. Упражнение 16 Ответ.

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 укажите ортогональную проекцию точки B на плоскость: а) A 1 B 1 C 1 ; б) ACC 1. Ответ. а) точка B 1 ; Упражнение 17 б) середина отрезка AC.

В правильной шестиугольной призме A … F 1 укажите ортогональную проекцию точки A на плоскость: а) A 1 B 1 C 1 ; б) CDD 1 ; в) DEE 1 ; г) BDD 1 ; д) BEE 1 ; е) BFF 1 ; ж) CEE 1 ; з) CFF 1. Ответ. а) A 1 ; Упражнение 18 б) C;в) E;г) B; д) точка пересечения прямых BE и AC; е) точка пересечения прямых BF и AD; ж) точка пересечения прямых CE и AD; з) точка пересечения прямых CF и AE.

В правильной шестиугольной призме A … F 1 укажите ортогональную проекцию отрезка AC 1 на плоскость: а) ABC; б) CDD 1 ; в) CEE 1 ; г) CFF 1 ; д) BEE 1 ; е) DFF 1. Ответ. а) отрезок AC; Упражнение 19 б) отрезок CС 1 ; в) отрезок, соединяющий точку C 1 и середину отрезка CE; г) отрезок, соединяющий точку C 1 и точку пересечения AF и AE; д) отрезок, соединяющий точку пересечения AC и BE с точкой пересечения A 1 C 1 и B 1 E 1 ; е) отрезок FD 1 ;

Докажите, что прямая BE 1 правильной шестиугольной призмы A … F 1 перпендикулярна прямой AB 1. Упражнение 20 Доказательство. Ортогональной проекцией прямой BE 1 на плоскость ABB 1 является прямая BA 1, которая перпендикулярна прямой AB 1. По теореме о трех перпендикулярах, прямая BE 1 перпендикулярна прямой AB 1.

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см. Упражнение 21

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, BAC = 60°. Упражнение 22

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AB, если AC = см, BC = 3AB. Упражнение 23

Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка. Упражнение 24

Отрезок BC длиной 12 см является проекцией отрезка AC на плоскость. Точка D принадлежит отрезку AC и AD:DC = 2:3. Найдите отрезок AD и его проекцию на плоскость, если известно, что AB = 9 см. Упражнение 25

Дан прямоугольный треугольник ABC, катеты которого AC и BC равны соответственно 20 и 15 см. Через вершину A проведена плоскость, параллельная прямой BC. Проекция одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы. Упражнение 26

Сторона ромба равна a, острый угол 60°. Через одну из сторон ромба проведена плоскость. Проекция другой стороны на эту плоскость равна b. Найдите проекции диагоналей ромба. Упражнение 27