DSP Лекция 4 Digital Signal Processing

DSP Z – преобразование Прямое Z – преобразованиеПрямое Z – преобразование Обратное Z – преобразованиеОбратное Z – преобразование СвойстваZ –преобразованияСвойства Z –преобразования Решение разностных уравнений с применением Z – преобразованияРешение разностных уравнений с применением Z – преобразования Передаточная (системная) функцияПередаточная (системная) функция

DSP Дискретные сигналы и системы Z – преобразование В теории систем непрерывного времени преобразование Лапласа рассматривается как обобщение преобразования Фурье и широко используется в качестве математического инструмента для вычисления отклика линейных с постоянными параметрами систем умеренной сложности на конкретные относительно простые воздействия. Аналогичную роль для дискретных сигналов и систем играет аппарат Z-преобразования, которое можно считать обобщением дискретного во времени преобразования Фурье.

DSP Дискретные сигналы и системы Прямое Z – преобразование Для последовательности x(n), заданной при всех n, z– преобразование определяется следующим образом: (2.1)(2.1) где z - комплексная переменная. Если представить комплексную переменную z в показательной форме z=re j, то (2.1) можно интерпретировать как ДВПФ : (2.2)(2.2) Действительно, согласно (2.2) z–преобразование x(n) можно интерпретировать как ДВПФ последовательности x(n), умноженной на экспоненциальную последовательность r -n. Очевидно, что для z = r = 1, т.е. на окружности единичного радиуса в комплексной z-плоскости, z–преобразование x(n) совпадает с ДВПФ последовательности x(n).

DSP Дискретные сигналы и системы Соотношение (2.1) называют двусторонним z–преобразованием, а в большинстве практических применений используют одностороннее z–преобразование, определяемое в виде: (2.3)(2.3) При x(n)=0, для nr 0 и обратно.

DSP Дискретные сигналы и системы Рассмотрим примеры нахождения z–преобразований некоторых полезных последовательностей. 1). Для единичного импульса x(n)= (n), очевидно, что X(z)=1. 2). Найдем z–преобразование единичной ступенчатой последовательности x(n)=u(n). Поскольку x(n)=0 везде, кроме n 0, где x(n)=1, то причем X(z) сходится при z >1, так как X(z) имеет единственную особую точку (полюс) z =1, в которой X(1)=. 3). Найдем z–преобразование действительной экспоненциальной последовательности x(n)=а n u(n). Получим X(z) сходится при z >а, так как X(z) имеет единственную особую точку (полюс) z =a. 4). Найдем z–преобразование комплексной экспоненциальной последовательности x(n)=e j n u(n). Получим X(z) сходится при z >1, так как X(z) имеет единственную особую точку (полюс) z = e j

DSP Дискретные сигналы и системы Часто удобно изображать z–преобразование графически с помощью диаграммы нулей и полюсов в z–плоскости. В случае, когда X(z) представляется рациональной функцией т.е. отношением полиномов переменной z, нули – это корни полинома числителя, при которых X(z)=0, а полюсы - это корни полинома знаменателя, при которых X(z)=. Так, для X(z), полученного в примере 4, нуль соответствует z = 0, а полюс z = e j. На рис.1 нуль обозначен кружком, полюс крестиком, а область сходимости обозначена штриховкой и включает все z на плоскости, удовлетворяющие условию z >1. Рисунок 1.

DSP Дискретные сигналы и системы Обратное Z – преобразование Обратный переход от z–преобразования X(z) к последовательности x(n) определяется соотношением (2.5)(2.5) Это обратное z–преобразование содержит интеграл по любому замкнутому контуру с направлением обхода против часовой стрелки, расположенному в области сходимости и окружающему начало координат. При выводе соотношения (2.5) используется теорема Коши, согласно которой (2.6)(2.6) Умножая (2.1) на z k-1 и интегрируя по замкнутому контуру, окружающему начало координат, получим откуда следует (2.5).

DSP Дискретные сигналы и системы Для рациональных z–преобразований контурные интегралы вида (2.5) удобно вычислять с помощью теоремы о вычетах, согласно которой (2.7)(2.7) где - вычет подынтегральной функции в полюсе z=p i. В общем случае, если X(z)z n-1 – рациональная функция z, то ее можно записать как когда X(z)z n-1 имеет полюс порядка s в точке z=p i, (z) не имеет полюсов в z=p i. Вычет X(z)z n-1 в точке z=p i определяется формулой В частности, если p i – полюс первого порядка, то

DSP Дискретные сигналы и системы Как пример рассмотрим вычисление обратного преобразования от z >а. Используя (2.7), получим где контур интегрирования С является окружностью с радиусом больше а. Тогда при n 0 контур интегрирования содержит только один полюс первого порядка в точке z=a. Следовательно, при n 0 x(n) = a n. При n

DSP Дискретные сигналы и системы Во многих случаях вычисления по формуле (2.7) оказываются сложными. Часто помогает ряд специальных приемов, которые рассмотрены ниже. 1). Разложение на простые дроби. Например, для рационального z–преобразования с однократными полюсами X(z) можно представить в форме суммы простых дробей тогда для всех n.

DSP Дискретные сигналы и системы 2). Разложение в степенной ряд. Если z–преобразование имеет вид степенного ряда, можно заметить, что значение x(n) последовательности есть коэффициент при z -n в этом ряде Если X(z) дается в замкнутом виде, то часто можно вывести соответствующий степенной ряд или использовать известное разложение в ряд. Например, для z >а представление в виде степенного ряда можно получить непосредственным делением числителя z на знаменатель z-a :

DSP Дискретные сигналы и системы Свойства Z – преобразования Рассмотрим некоторые наиболее важные свойства z– преобразования, полезные при его применении. 1). Линейность. z–преобразование есть линейное преобразование, что означает справедливость для него принципа суперпозиции. Если z–преобразования последовательностей y(n), x 1 (n), x 2 (n) равны Y(z), X 1 (z), и X 2 (z) соответственно, то для любых действительных a и b справедливы соотношения: для y(n)=ax 1 (n)+bx 2 (n), Y(z)=aX 1 (z)+bX 2 (z). 2). Сдвиг последовательности (задержка). Если z–преобразования последовательностей y(n), x(n) равны Y(z), X(z) соответственно, то для y(n)=x(n-n 0 ), где n 0 - целое число, справедливо соотношение: (2.8)(2.8) Так, при задержке на один такт y(n)=x(n-1), Y(z)=z -1 X(z) т.е. z–преобразование исходной последовательности умножается на z -1. Поэтому иногда пользуются оператором задержки на такт z -1 {}, понимая под ним следующее соотношение: z -1 {x(n)}=x(n-1).

DSP Дискретные сигналы и системы Для одностороннего z–преобразования свойство задержки следует рассмотреть подробнее. Пусть y(n)=x(n-n 0 ), ( n 0 >0 и целое), тогда, если то Если x(n)=0 при n0 и целое), аналогично (2.9) легко получить соотношение: Соотношения (2.8) и (2.9) используются при решении разностных уравнений с применением одностороннего z–преобразования. (2.10)

DSP Дискретные сигналы и системы 3). Свертка последовательностей. Пусть Если z–преобразования последовательностей y(n), x(n), h(n) равны Y(z), X(z), и H(z) соответственно, то справедливо соотношение: Y(z)=X(z)H(z), которое означает, что z–преобразование свертки равно произведению z–преобразований свертываемых последовательностей. Действительно, (2.11)

DSP Дискретные сигналы и системы 4).Перемножение последовательностей. Пусть y(n)=x 1 (n)x 2 (n). Если z–преобразования последовательностей y(n), x 1 (n), x 2 (n) равны Y(z), X 1 (z), и X 2 (z) соответственно, то справедливо соотношение: Это соотношение называют комплексной сверткой. При z=e j и v=e j из (2.12) имеем периодическаякруговаясвертка Следовательно, ДВПФ произведения последовательностей есть периодическая (круговая) свертка ДВПФ сомножителей. Доказательство (2.12): (2.12) (2.12а) Важным следствием (2.12a) является равенство Парсеваля: (2.13)

DSP Дискретные сигналы и системы Последовательностьz–преобразование x(n), n 0 X(z) (n) 1 u(n-N)z -N /(1-z -1 ) anan 1/(1-az -1 ) nz -1 /(1-z -1 ) 2 na n az -1 /(1-az -1 ) 2 a n cos(n ) (1-acos z -1 )/ (1-2acos z -1 +a 2 z -2 ) a n sin(n ) asin z -1 /(1-2acos z -1 +a 2 z -2 ) Таблица 1. Краткая таблица одностороннего z–преобразования.

DSP Дискретные сигналы и системы Последовательностьz–преобразование x(n), n 0 X(z) y(n), n 0 Y(z) ax(n)+ by(n)aX(z)+ bY(z) x(n+1)z[X(z)-x(0)] x(n-N) u(n-N) z -N X(z), N 0 a n x(n)X(a -1 z) nx(n)-z(dX(z)/dz) x (n) X (z ) x(-n)X(1/z) x(n) y(n) X(z)Y(z) x(n)y(n) Таблица 2. Наиболее важные свойства одностороннего z–преобразования. Заметим, что свойства двустороннего z–преобразования совпадают со свойствами одностороннего z–преобразования за исключением опережающего сдвига.

DSP Дискретные сигналы и системы Решение разностных уравнений с применением z- преобразования Разностные уравнения обычно определены при n 0 и имеют набор начальных условий. Рассмотрим процедуру нахождения общего решения с использованием одностороннего z–преобразования на примере разностного уравнения 1-го порядка с начальным условием y(-1)=k. Пусть входной сигнал есть экспоненциальная последовательность. Найдем одностороннее z–преобразование обеих частей уравнения:

DSP Дискретные сигналы и системы Воспользуемся свойством (2.9), связанным с задержкой последовательности, получим: откуда Поскольку для,, то Разлагая второе слагаемое на простые дроби, получим Находя обратное z–преобразование, получим

DSP Дискретные сигналы и системы Первая компонента в скобках представляет составляющую отклика, определяемую начальными условиями, или реакцию при нулевом входном воздействии (РНВ). Остальные компоненты представляют реакцию при нулевом начальном состоянии (РНС), причем второе слагаемое – собственные колебания, вызванные входным воздействием, а третье слагаемое – вынужденные колебания. При нулевых начальных условиях ( k=0 ) и b=1 т.е. x(n)=u(n) переходная характеристика системы принимает вид: Рисунок 2. Переходная характеристика системы ( а=0,7 )

DSP Дискретные сигналы и системы Передаточная (системная) функция Выше мы рассмотрели описание линейных систем с постоянными параметрами с помощью частотной характеристикой системы - преобразования Фурье импульсной характеристики. Показано, что в частотной области соотношение между входным и выходным сигналами получается просто умножением преобразования Фурье входного сигнала на преобразование Фурье импульсной характеристики. Более общим образом можно описать линейные с постоянными параметрами системы с помощью z-преобразования импульсной характеристики. Обозначая х(п), у(п) и h(n) вход, выход и импульсную характеристику соответственно и X(z), Y(z) и H(z) их z- преобразования и используя результаты предыдущего раздела, получим из свертки у(п) = х(п) * h(п) соотношение Y(z)=X(z)H(z). (2.14) Как и в случае преобразования Фурье, соотношение между входом и выходом для линейных с постоянными параметрами систем получается умножением z-преобразований входного сигнала и импульсной характеристики.

DSP Дискретные сигналы и системы Часто z-преобразование импульсной характеристики называется передаточной или системной функцией. Передаточная функция на единичной окружности (т. е. при |z| =1 ) является частотной характеристикой системы. Было показано, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость импульсной характеристики h(п). Область сходимости z- преобразования импульсной характеристики h(п) определяется теми значениями z, при которых h(n)z -n абсолютно суммируемая последовательность. Поэтому, если область сходимости передаточной функции включает единичную окружность, система устойчива и наоборот. Кроме того, мы можем утверждать, что для устойчивой и физически реализуемой системы: область сходимости будет, включать единичную окружность и всю z-плоскость вне единичной окружности, включая z=.

DSP Дискретные сигналы и системы Если систему можно описать линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами, то ее передаточная функция является отношением полиномов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим систему, вход и выход которой удовлетворяют общему разностному уравнению N -гo порядка Применяя z-преобразование к обеим частям разностного уравнения с учетом свойства линейности и свойства задержки, получим Поэтому (2.15)

DSP Дискретные сигналы и системы Эта формула дает конкретное выражение для передаточной функции, и коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе являются соответственно коэффициентами в правой и левой частях разностного уравнения. Так как выражение (2.15) есть отношение полиномов от z -1, то его можно записать в виде (2.15) (2.16) Каждый из сомножителей (1z i z -1 ) в числителе (2.16) дает нуль при z =z i и полюс при z=0. Аналогично каждый сомножитель вида ( 1 p i z -1 ) в знаменателе дает полюс при z=p i и нуль в начале координат. То, что передаточная функция системы равна отношению полиномов от z -1 является характерной чертой систем, описываемых линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Следовательно, с точностью до скалярного множителя А в (2.16) передаточная функция может быть полностью описана картиной полюсов и нулей в z-плоскости. (2.16)

DSP Дискретные сигналы и системы Если система устойчива, то все полюсы должны лежать внутри единичного круга и область сходимости будет содержать единичную окружность. По этой причине при описании передаточной функции диаграммой полюсов и нулей в z-плоскости удобно изображать также единичную окружность, чтобы было видно расположение полюсов относительно этой окружности. Пример. В качестве простого примера рассмотрим физически реализуемую систему, описываемую разностным уравнением у(п) = ау(п-1)+х(п). Передаточная функция равна и в силу предположения о физической реализуемости область сходимости определяется неравенством |z|>|a|, откуда следует, что импульсная характеристика равна h(п )=а п и(п). В частном случае, когда N=0 в (2.15) или (2.16), система не имеет полюсов, за исключением точки z=0, и ее импульсная характеристика имеет конечную длительность. При N>0 система имеет полюсы, каждый из которых прибавляет экспоненциальную последовательность к импульсной характеристике. Таким образом, если передаточная функция имеет полюсы, то импульсная характеристика имеет бесконечную протяженность.

DSP Дискретные сигналы и системы Одним из преимуществ представления передаточной функции посредством ее полюсов и нулей является то, что оно дает полезный геометрический способ получения частотной характеристики системы. Вспомним, что отклик системы на синусоидальное возбуждение описывается частотной характеристикой, т. е. поведением передаточной функции на единичной окружности. В частности, отклик на выходе является синусоидальным с той же частотой, что и на входе, а амплитуда на выходе равна амплитуде на входе, умноженной на модуль передаточной функции на частоте возбуждения. Фазовый сдвиг выхода относительно входа равен аргументу передаточной функции на частоте возбуждения.

DSP Дискретные сигналы и системы Чтобы определить передаточную функцию на единичной окружности, нужно подставить z=e j в (2.16). Таким образом, Представляя H(e j ) = | H(e j ) |e jarg[H(.)], получим (2.17) (2.18)

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 3. Геометрическая интерпретация измерения частотной характеристики. Геометрическая интерпретация соотношений (2.17) (2.18) дана на рис.3. Из точки z = e j находящейся на единичной окружности, во все нули и полюсы проведены векторы. По их величине определяется модуль передаточной функции на заданной частоте, а по их углам фаза. В примере на рис.3 имеются три полюса (N = 3) и два нуля (М = 2), а коэффициент А =1, поэтому (рис.3)

DSP Дискретные сигналы и системы Для определения передаточной функции на всех частотах 0 необходимо перемещать z по единичной окружности против часовой стрелки из точки z =+1 до точки z = - 1. Рисунок 4. Диаграмма полюсов и нулей (а) фильтра первого порядка и соответствующие частотные характеристики (б). На рис.4 показаны диаграмма полюсов и нулей и частотная характеристика для разностного уравнения первого порядка, соответствующего передаточной функции H(z) = 1/(1-az -1 ) и импульсной характеристике h(n}=a n u(n). Из картины изменения векторов, соответствующих нулям и полюсам, ясно, что пики частотной характеристики получаются вблизи полюсов. Из этой геометрической картины должно быть понятно, что полюса и нули в начале координат не влияют на модуль частотной характеристики и вводят только линейную компоненту в фазу.

DSP Дискретные сигналы и системы В качестве второго примера рассмотрим случай, когда импульсная характеристика системы является усеченной импульсной характеристикой предыдущего примера, т. е. Тогда передаточная функция равна или H(z) = (z M -a M )/z M-1 (z-а). Так как числитель имеет нули при z k =ae j(2 /M)k, k=0,1,…,M-1, где а считается положительным числом, то полюс при z=a компенсируется нулем в той же точке. Диаграмма полюсов и нулей и соответствующая частотная характеристика для случая М=8 показана на рис. 5. Заметим наличие пика при =0 (z=1), где нет нулей, и провалов в частотной характеристике в окрестности каждого нуля. Эти свойства частотной характеристики легко выводятся геометрически из диаграммы полюсов и нулей.

DSP Дискретные сигналы и системы Рисунок 5. Диаграмма полюсов и нулей (а) и частотные характеристики КИХ-системы (б), импульсная характеристика которой является усеченной импульсной характеристикой для примера рис.4.