Терема Птолемея Автор: Смирнова Алла, 9В класс Руководитель: Макарова Т.П., учитель математики 2011 год Легче, кажется, двигать самые планеты, чем постичь их движение. Клавдий Птолемей

О ученом Клавдий Птолемей живший в конце первого начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея Альмагест, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал Альмагест и каталог звездного неба.

ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости. Поскольку четырехугольник вписан в окружность, то

Из треугольника по теореме косинусов находим Сумма этих косинусов равна нулю: Отсюда выразим :

Рассмотрим треугольники и и найдем : Отсюда Что и требовалось доказать. Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство Докажем, что вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Обозначим через R радиус окружности, описанной вокруг. Из точки D опустим перпендикуляры на прямые AB,BC,AC и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через и соответственно. По теореме синусов для треугольника получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен CD):.

По теореме синусов для треугольника ABC имеем Следовательно, Таким же образом, рассматривая треугольники и получим Соотношения Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем или откуда следует, что точки и лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг Четырехугольника ABCD можно описать окружность. Построим окружности на отрезках AD и СD как на диаметрах. Первая из них проходит через точки и (углы и прямые), а вторая - через точки и ( ).

Углы и равны как вертикальные, откуда следует, что,а значит, и Отсюда вокруг Четырехугольника ABCD можно Описать окружность..

ГОЛОВОЛОМКИ И ЗАГАДКИ. На рисунке изображена деревня, в которой находятся четыре дома, четыре дерева, две изгороди с четырьмя калитками. В центре деревни расположен колодец с питьевой водой. Необходимо разделить территорию деревни на четыре равных участка таким образом, чтобы каждому домовладельцу досталось по одному дереву, по куску изгороди равной длины и по свободному проходу к колодцу, который бы не пересекал бы участок соседа.

Разделите фигуру, изображённую на рисунке, на 8 одинаковых кусочков:

Расположите на плоскости 12 точек, так, чтобы они оказались выстроены в 7 рядов, по 4 точки в каждом.