Нестандартные методы решения квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений в древности Впервые квадратное уравнение смогли решить древние египтяне. При раскопках в одном из папирусов содержится задача. Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь равна 12, а 3/4 длины равны ширине.

Решение. Пусть длина поля равна x, тогда ширина- 3/4 x, а площадь - 3/4 x 2. Получаем квадратное уравнение: 3/4 x 2 = 12, x 2 = 16, x = ± 4 (-4 не удовлетворяет условию задачи). Ответ: 4.

x x = 39 x 2 +10x + 25 = , (x+5) 2 = 64, x + 5 = 8, x = 3. Второй корень найдём из уравнения x + 5 = - 8, x = Ответ: - 13; -8.

x x = 39 (x+5) 2 = x + 5 = 8 x = 3. Ответ: 3.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 (а 0) можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром Q( ; ), проходящей через точку А(0; 1), и оси Ох. Решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром Q и радиусом QА (для этого и понадобятся инструменты) и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ох.

Первый случай. Если QA>, то окружность пересекает ось Ох в двух точках М(х 1 ; 0) и N(х 2 ;0); уравнение имеет корни х 1, х 2.

Второй случай. Если QA=, то окружность касается оси Ох в точке М(х 1 ; 0); уравнение имеет корень х 1.

Третий случай. Если QA

Пример 1. Решите уравнение х 2 -2х+1=0. Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение х 2 + 4х-5 = 0. Ответ: -5; 1.

Пример 3. Решите уравнение х 2 -4х+5=0. Ответ: нет корней.

Графический способ решения квадратных уравнений

I способ

II способ

III способ

X 2 +1,5x-2,5=0 Решение: X 2 =-1,5x+2,5 y=x 2 и y=-1,5x+2,5 Ответ: - 2,5; 1.

Общие методы решения квадратных уравнений

3x 2 +2x-1=0 Решение : 3x 2 + 3x-x-1=0 3x(x+1)-(x+1)=0 (x+1)(3x-1)=0 x+1=0, или 3x-1=0 x=-1. x= Ответ:-1;

(5x+3) 2 =3(5x+3)-2 Если t=1,то 5x+3=1, x=-0,4. Пусть 5x+3=t, тогда t 2 =3t-2, t 2 -3t+2=0. Если t=2,то 5x+3=2, x=-0,2. Ответ:-0,4;-0,2.

Специальные методы решения квадратных уравнений

При решении уравнения ax 2 + bx + c = 0 (a 0) можно пользоваться следующими правилами: 1.Если a +b + c = 0, то x 1 = 1, x 2 =. 2.Если a + c = b, то x 1 = -1, x 2 = -.

Метод «переброски» старшего коэффициента. Умножим обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 на a 0: a 2 x 2 + bax + ca = 0. Пусть ax = y, тогда получим уравнение y 2 + by + ca = 0. ax 1 = y 1, ax 2 = y 2, x 1 =, x 2 =.

2x 2 – 11x + 15 = 0 Решение. Умножим обе части на 2: 2 2 x 2 – 2 11x + 30 = 0. Пусть 2x = y, тогда y 2 – 11y + 30 = 0. Корни уравнения y 1 = 5, y 2 = 6. 2x 1 = 5, 2x 2 = 6, x 1 = 2,5, x 2 = 3. Ответ: 2, 5; 3.

Вопросы анкетирования: 1) Каким способом вы раньше решали квадратное уравнение, и каким стали решать после открытого урока? 2) Какой способ вам показался самым: А) лёгким? Б) трудным? В) интересным? 3) Какой способ вы бы хотели включить в школьную программу?

Спасибо за внимание!!!