Элементы геометрии треугольника и тетраэдра Выполнил ученик 9 «в»класса МОУ «СОШ 5 УИМ»г.Магнитогорска Безбородов Андрей Научные руководители : Никифорова Наталья Сергеевна; Устинов Алексей Викторович

A B C X O l

A B C D

O B C A

A B C D O

A B C D B1 C1 T1 T A A1 O По теореме о том, что площади треугольников, имеющие равные высоты, относятся как их основания OB1:OB=1:3 OC1:OC=1:3

номер Элементы геометрии треугольника Элементы геометрии тетраэдра 1 Медианы треугольника пересекаются в одной точке Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке 2 Около треугольника можно описать только одну окружность Около тетраэдра можно описать только одну сферу 4 В треугольник можно вписать только одну окружность В тетраэдр можно вписать только одну сферу 3 Высоты треугольника пересекаются в одной точке Высоты ортоцентрического тетраэдра пересекаются в одной точке 5 В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке Биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке Биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке

6 Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке Перпендикуляры, восстановленные к граням тетраэдра из их центроидов пересекаются в одной точке 7 Центр вписанной окружности равноудален от сторон треугольника Центр вписанной сферы равноудален от всех граней 8 Центр описанной окружности равноудален от вершин треугольника Центр описанной сферы равноудален от вершин тетраэдра 9 Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника Центр описанной сферы лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных к граням из центров их описанных окружностей

11 Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 Медианы тетраэдра делятся точкой пересечения в отношении 3:1 12 Теорема косинусов Теорема косинусов для тетраэдра 13 Теорема синусов Теорема синусов для тетраэдра 14 У треугольника существуют 3 вневписанные окружности У тетраэдра существуют от 4 вневписанные сферы и от 0 до 3 сфер, касающихся «чердаков» тетраэдра 15 Теорема Пифагора Теорема Пифагора для трехгранных углов Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника Центр вписанной сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей тетраэдра

А О B C

A B C A1 C1 O B1

AB C

A B C a b c O

А А1 В В1 С С1 О AC1/BC1=AB1/CB1 =CA1/BA1=1

d c b o1 o a o2 e Т.к G Є AO2;G Є DO; G Є BO1;CO1 перес-ет BO1 перес-ет DO G=CO1 перес-ет BO; G= BO перес-ет AO2= Q G=Q; G=CO1 перес-ет AO2= M; G= BO1 перес-ет AO2 G=M G=M=Q M Q G

Центроид треугольника Центроид тетраэдра

А А1 В В1 С С1 В2 А2 С2

O a b c A B C AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC*cos c AB^2=OA^2+OB^2-2*AO*BO*cos гамма OA^2-AC^2+OB^2-BC^2+ +2AC*BC*cos c-2AO*BO*cos гамма=0 OA^2-AC^2=OC^2 OB^2-BC^2=OC^2 OA*OB*cos гамма=OC^2+AC*BC*cos ccos гамма =cos альфа*cos бетта + sin альфа*sin бетта*cos c cos гамма=OC:OA*OC:OB+AC:OA*BC:OB*cos c

Sin^2 угла с =1-cos^2 угла с=1-(cos гамма-cos альфа*cos бетта)^2 /(sin^2 альфа*sin*2 бетта)=(1-cos ^2 альфа * - cos^2 бетта –cos ^2 гамма +2*cos альфа*cos бетта*cos гамма)/(sin^2 альфа* sin^2 бетта) Sin ^2 угла с /sin ^2 гамма=(1-cos^2 альфа- сos ^2 бетта – cos ^2 гамма +2*cos альфа*cos бетта *cos гамма)/(sin^2 альфа* sin^2 бетта*сos^2 гамма) Sin угла а/sin альфа=sin угла b/sin бетта =sin угла с/sin гамма АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ СИНУСОВ ДЛЯ ТРЕХГРАННОГО УГЛА

Cos гамма=сos альфа * сos бетта АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕХГРАННОГО УГЛА

A B C D F V=V ABCF +V ABDF -V ACDF -V BCDF =r/3* *(S ABC +S ABD -S ACD -S BCD ) S ABC +S ABD