Линейная алгебра и аналитическая геометрия Лектор Ефремова О.Н г. Тема: Кривые второго порядка

§ 4. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола.

1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F 1 F 2 |). Точки F 1 и F 2 называют фокусами эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат F 1 (–c;0) и F 2 (c;0), где |OF 1 | = |OF 2 | = c.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипса. Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x= a, y= b. 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии эллипса называют центром эллипса. Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью. 3) Из уравнения эллипса получаем Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе:

а) D(y) = [–a; a], y( a) = 0 ; б) функция возрастает при x (–a; 0) (y > 0), убывает при x (0; a) (y < 0), экстремум (максимум) в точке x = 0, y(0) = b ; в) кривая всюду выпуклая.

Точки A 1, A 2, B 1, B 2 называются вершинами эллипса. Отрезок A 1 A 2 и его длина 2a называются большой (фокальной) осью, отрезок B 1 B 2 и его длина 2b – малой осью. Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно. Длина отрезка F 1 F 2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF 1, MF 2 и их длины r 1, r 2 называются фокальными радиусами точки M.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина, равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е. Так как, то 0 < < 1. Величина характеризует форму эллипса. Зная эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y): r 1 = | MF 1 | = a + x, r 2 = | MF 2 | = a – x. Замечания. 1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой F 1 = F 2 = O, Геометрически это означает, что точки кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является окружностью. Каноническое уравнение окружности принято записывать в виде x 2 + y 2 = r 2, где r – расстояние от любой точки окружности до ее центра; r называют радиусом окружности.

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F 1 (0;–c) и F 2 (0;c), где Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам r 1 = | MF 1 | = a + y, r 2 = | MF 2 | = a – y.

2. Гипербола ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F 1 F 2 |). Точки F 1 и F 2 называют фокусами гиперболы. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат F 1 (–c;0) и F 2 (c;0), где |OF 1 | = |OF 2 | = c.

Уравнение (2) называется каноническим уравнением гиперболы. Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x= a. 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы. Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью. 3) Из уравнения гиперболы получаем Исследуем кривую методами, разработан- ными в математическом анализе:

а) D(y) = (– ;–a] [a; + ), y( a) = 0 ; б) линия имеет асимптоты Напомним, что прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Существуют два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x), в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности. Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k 1,2 x+b 1,2, где

в) функция возрастает при x (a; + ) (y > 0), убывает при x (– ; –a) (y < 0), экстремумов нет (критические точки x = 0 D(y) и x = a – граничные); г) кривая всюду выпуклая.

Точки A 1, A 2 называются вершинами гиперболы. Отрезок A 1 A 2 и его длина 2a называются действительной (фокальной) осью, отрезок B 1 B 2 и его длина 2b – мнимой осью. Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно. Длина отрезка F 1 F 2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием. Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF 1, MF 2 и их длины r 1, r 2 называются фокальными радиусами точки M.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина, равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е. Так как, то > 1. Величина характеризует форму гиперболы. Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то r 1 = | MF 1 | = a + x, r 2 = | MF 2 | = – a + x. Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то r 1 = | MF 1 | = – (a + x), r 2 = | MF 2 | = – (– a + x).

Замечания. 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной. Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны. Тогда можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет xy=0,5a 2. (3) Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гипер- болы, отнесенной к асимптотам.

2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид Для этой гиперболы действительная ось – ось Oy, мнимая ось – ось Ox, F 1 (0;–c) и F 2 (0;c) (где ) асимптоты: фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам: а) при y > 0 r 1 =|MF 1 | = a+ y, r 2 =|MF 2 | = – a+ y; б) при y < 0 r 1 =|MF 1 |= –(a+ x), r 2 =|MF 2 |= –(– a+ x).

3. Парабола Пусть – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ) одинаково. Точку F называют фокусом параболы, прямую – директрисой. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы директриса параболы была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до было одинаковым. В такой системе координат F (0,5p;0) и : x + 0,5p =0, где p – расстояние от F до.

Уравнение (4) y 2 = 2px называется каноническим уравнением параболы. Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат.

ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы. 3) Из уравнения параболы получаем: Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе: а) D(y) = [0; + ), y(0) = 0 ; б) асимптот нет; в) функция всюду возрастает; г) кривая всюду выпуклая.

Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы. Число p называется параметром параболы. Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M.

Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково. Тогда получим для параболы уравнение y 2 = –2px,(5) а для директрисы и фокуса порлучим F(–0,5p;0) и : x – 0,5p = 0.

Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3): Тогда уравнение параболы будет иметь вид x 2 = 2py,(6) а для директрисы и фокуса получим F(0; 0,5p) и : y 0,5p = 0. Уравнения (2) и (3) тоже называются каноническими уравнениями параболы, а соответствующие им системы координат – каноническими системами координат.