Кривые второго порядка Общее уравнение кривой второго порядка Окружность Эллипс Гипербола Парабола

Общее уравнение кривой второго порядка К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным случаем которого является окружность, гипербола и парабола. Они задаются уравнением второй степени относительно x и y: Общее уравнение кривой второго порядка В некоторых частных случаях это уравнение может определять также две прямые, точку или мнимое геометрическое место.

Окружность Окружностью называется геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от точки А(a; b) на расстояние R. y 0 х А R М(x; y) Для любой точки М справедливо: Каноническое уравнение окружности

Эллипс Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F1F1 F2F2 -c c M(x; y) r1r1 r2r2 Зададим систему координат и начало координат выберем в середине отрезка [F 1 F 2 ]

Эллипс b2b2 b2b2 b2b2 Каноническое уравнение эллипса

Эллипс y 0 х F1F1 F2F2 -c c M(x; y) r1r1 r2r2 а -а большая полуось малая полуось b -b фокальное расстояние фокальные радиусы точки М эксцентриситет эллипса Для эллипса справедливы следующие неравенства: Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 – окружность)

Пример Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат в точках F 1 (-4; 0) F 2 (4; 0), а эксцентриситет равен 0,8. Каноническое уравнение эллипса: y 0 х

Гипербола Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух точек той же плоскости F 1 и F 2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. y 0 х F1F1 F2F2 -c c M(x; y) r1r1 r2r2

Гипербола b2b2 b2b2 b2b2 Каноническое уравнение гиперболы После тождественных преобразований уравнение примет вид:

Гипербола y 0 х F1F1 F2F2 -c c M(x; y) а -а-а -b b Для гиперболы справедливо: r1r1 r2r2 фокальные радиусы точки М действительная полуось мнимая полуось эксцентриситет гиперболы асимптоты гиперболы

Пример Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку А(6; -4), если ее асимптоты заданы уравнениями: Решим систему: Точка А лежит на гиперболе

Пример Каноническое уравнение гиперболы: 0 y х

Парабола y 0 х F M(x; y) d r Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки той же плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до прямой:

Парабола y 0 х F M(x; y) d r каноническое уравнение параболы директриса параболы фокус параболы фокальный радиус Эксцентриситет параболы:

Преобразование общего уравнения к каноническому виду Составим из коэффициентов уравнения два определителя: Дискриминант старших членов уравнения Дискриминант уравнения ЭллипсТочка ГиперболаПара пересекающихся прямых ПараболаПара параллельных прямых

Преобразование общего уравнения к каноническому виду Общее уравнение кривой называется пяти-членным, если 2Bxy=0: Приведение пяти-членного уравнения к каноническому виду рассмотрим на примере:

Преобразование общего уравнения к каноническому виду y 0 х y x Перенесем начало координат в точку (1; -1), получим новую систему координат:

Преобразование общего уравнения к каноническому виду Если слагаемое 2Bxy в общем уравнении не равно нулю, то для приведения уравнения к каноническому виду необходимо повернуть оси координат на угол α. При этом зависимость между старыми координатами и новыми определяются формулами: Угол α удовлетворяет условию: В случае, если A = C, то