Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.МА В О

Блиц-опрос. Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.МА В О

Блиц-опрос. Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.МА В О : 2 = / : 2 = / / /

Блиц-опрос. Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. М А В О = = 172 0

Блиц-опрос. Блиц-опрос. Найдите дугу АВ. М А В О = / / / / 2 = /

Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и Q. Докажите, что АВ 2 = АР АQ.АВ Q Р РВ ВQВQ = АР АВ АQАQ = АВР АQВ по 1 признаку подобия АВ 2 = АР АQ.Р

? Через точку А проведены касательные АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите СD, если АВ=4 см, АС=2 см. АВ 2 = АC АD. А В D C = 2 АD.4 2 АD = 8

Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках В 1, С 1, а другая – в точках В 2, С 2. Докажите, что АВ 1 АС 1 = АВ 2 АС 2 АD 2 = AB 1 АC 1 D А С1С1С1С1 В1В1В1В1 В2В2В2В2 С2С2С2С2 АD 2 = AB 2 АC 2 =

А С В Свойство медиан треугольника. Свойство медиан треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. В1В1В1В1 А1А1А1А1 О ВО В1ОВ1О = АО А1ОА1О СО С1ОС1О == 2 1 С1С1С1С1 1

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. В А Теорема С L K М 12

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. В А Обратная теорема С L K М

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В А Следствие СK А1А1А1А1 В1В1В1В1 С1 О М L ОМ=ОК ОК =ОL По теореме о биссектрисе угла = По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С ОМ ОLОL 2

a С Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. М В Определение Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку.

m O Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. BA Теорема М

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обратная теорема BA m O N

По теореме о серединном перпендикуляре к отрезку Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. C B Следствие A m р ОA=ОB ОB =ОC = По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС ОAОA ОCОCn О3

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (или их продолжения) пересекаются в одной точке.Теорема C B A А2А2А2А2 С2С2С2С2 В2В2В2В2 A1A1A1A1 В1В1В1В1 С1С1С1С1 По теореме о серединных перпендикулярах: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 4

Замечательные точки треугольника. Точкапересечения медиан Точкапересечения биссектрис Точкапересечения высот Точкапересечениясерединных перпенди куляров

Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести треугольника.

А В С К М O Т тупоугольного треугольника Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внешней области треугольника. прямоугольного треугольника Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С. остроугольного треугольника Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника. O А В С Точка пересечения высот называется ортоцентр.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности. O

Эта точка замечательная – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника является центром описанной окружности. Серединным перпендикуляром к отрезку Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. O