Вписанные и описанные окружности. Выполнил:Зиновьев Александр

Основные определения.

O A B C D Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется описанным около этой окружности.

D C A B O Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник называется вписанным в эту окружность.

Теоремы.

Определение : В любой треугольник можно вписать окружность и только одну. Доказательство: 1) При доказательстве теоремы мы обозначим буквой О точку пересечения биссектрис треугольника ABC. A C K L M O B Проведём из точки О перпендикуляры ОК, ОL и OM к сторонам АВ, ВС и СА. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L, М, т.к. они перпендикулярны к радиусам ОK, ОL и OM. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. 2) А если предположить, что в треугольник можно вписать две окружности, то можно доказать, что они совпадут.

Замечание… В отличии от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Примите к сведенью. В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. A C B a D b a b c c d d Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность. Обратное утверждение:

Определение: около любого треугольника можно описать окружность и только одну. Доказательство: 1) При доказательстве теоремы мы обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника и проведём отрезки OA, OB и OC. Т. к. точка О равноудалена от вершины треугольника ABC, то OA = OB = OC. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана. 2) А если допустить, что около треугольника можно описать две окружности, то можно доказать, что они совпадут. A B C O

Замечание… В отличии от треугольника около четырёхугольника не всегда можно описать окружность.

Примите к сведенью. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна Обратное утверждение: Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180 0, то около него можно описать окружность.

Задачка… Дано: АВС - равностор. Окр. (O; r) - впис. P = 12 см Найти: r впис. окр.- ? O A B C

Решаем уравнение и получаем ВН = 6 (см) АВ 2 = ВН + АН 2 АВ = 1/3 12 = 4 О принадлежит BH – медиане, высоте и бис-се АВС – прямоугольный; АВ – гипотенуза; АН = ½ АВ. АВС - равностор. бис-сы – медианы и высоты, они равны. Окр. (О; r) - впис. О - точка пересечения Бис-с этого треугольника. Решение: О – точка пересечения медиан. ВО/ВН = 2/1; 2ОН = ВО 3ОН = ВН ОН = 6 : 3 = 2 (см) ОН АС, т.к. ВН – высота АС – касательная к окр. (О; r) ОН = r (ОН – r окр.)

Задачка… Дано: Окр. (O; r) - опис. АВС – впис. АВ – диаметр окр. ВС = Найти: углы треугольника A B C O

Решение: ВС лежит против А; ВС = А = 134 : 2 = 67 0 АВ – диаметр окр. АСВ = 90 0 А + В + С = (по теореме о сумме углов треугольника) С = 90 0 ; А = 67 0 В = – 90 0 – 67 0 = 23 0