Многоугольники, вписанные в окружность Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности. Окружность при этом называется описанной около многоугольника.

Теорема 1 Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Теорема 2 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Теорема 3 Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 о.

Вопрос 1 Какой многоугольник называется вписанным в окружность? Ответ: Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины принадлежат окружности.

Вопрос 2 Какая окружность называется описанной около многоугольника? Ответ: Окружность называется описанной около многоугольника, если ей принадлежат все вершины этого многоугольника.

Вопрос 3 Около всякого ли треугольника можно описать окружность? Ответ: Да.

Вопрос 4 Где находится центр описанной около треугольника окружности? Ответ: Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Вопрос 5 Можно ли описать окружность около правильного многоугольника? Ответ: Да.

Упражнение 1 Укажите центр окружности, описанной около прямоугольника ABCD. Ответ:

Упражнение 2 Укажите центр окружности, описанной около треугольника ABC. Ответ:

Упражнение 3 Укажите центр окружности, описанной около треугольника ABC. Ответ:

Упражнение 4 Укажите центр окружности, описанной около многоугольника ABCDEFGH. Ответ:

Упражнение 5 Укажите центр окружности, описанной около трапеции ABCD. Ответ:

Упражнение 6 Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться: а) внутри треугольника; б) на стороне треугольника; в) вне этого треугольника? Ответ: а) Да; б) да; в) да.

Упражнение 7 С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 4 см, 5 см, 6 см. Решение. Центром описанной окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Упражнение 8 С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 3 см, 4 см, 5 см. Решение. Центром описанной окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Упражнение 9 С помощью циркуля и линейки постройте окружность, описанную около треугольника со сторонами 2 см, 3 см, 4 см. Решение. Центром описанной окружности будет точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Упражнение 10 Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c, AC = b и радиусу R описанной окружности. Решение: Проведем окружность радиуса R. С центром в точке A этой окружности и радиусом c проведем дугу окружности. Обозначим B ее точку пересечения с проведенной окружностью. Проведем отрезок AB. С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса b. Обозначим C 1, C 2 ее точки пересечения с проведенной окружностью. Соединим их отрезками с точками A и B. Треугольники ABC 1 и ABC 2 будут искомыми.

Упражнение 11 Постройте треугольник ABC по данным стороне AB = c, углу A и радиусу R описанной окружности. Решение: Проведем окружность радиуса R. С центром в точке A этой окружности и радиусом c проведем дугу окружности. Обозначим B ее точку пересечения с проведенной окружностью. Проведем отрезок AB. От луча AB отложим углы, равные углу A. Обозначим C 1, C 2 точки пересечения их лучей с проведенной окружностью. Соединим их отрезками с точками A и B. Треугольники ABC 1 и ABC 2 будут искомыми.

Упражнение 12 Всегда ли можно ли описать окружность около: а) прямоугольника; б) параллелограмма; в) ромба; г) квадрата; д) равнобедренной трапеции; е) прямоугольной трапеции? Ответ: а) Да; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет.

Упражнение 13 Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого последовательно равны: а) 70 о, 130 о, 110 о, 50 о ; б) 90 о, 90 о, 60 о, 120 о ; в) 45 о, 75 о, 135 о, 105 о ; г) 40 о, 125 о, 55 о, 140 о ? Ответ: а) Да; б) нет; в) да; г) нет.

Упражнение 14 Где находится центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Ответ: В середине гипотенузы.

Упражнение 15 Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5 см.

Упражнение 16 Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 30 о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 1.

Упражнение 17 Одна сторона треугольника равна радиусу описанной окружности. Найдите угол треугольника, противолежащий этой стороне. Ответ: 30 о.

Упражнение 18 Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен 30 о. Найдите сторону AB этого треугольника, противолежащую данному углу. Ответ: 3.

Упражнение 19 Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен 120 о. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Ответ: 1.

Упражнение 20 Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ: 150 о.

Упражнение 21 Ответ: 12 о 25'30", 12 о 25'30", 155 о 9'. Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, боковая сторона которого стягивает дугу в 24 о 51'.

Упражнение 22 Найдите углы вписанного в окружность равнобедренного треугольника, если его основание стягивает дугу в 100 о. Ответ: 50 о, 65 о, 65 о или 25 о 30, 25 о 30, 130 о.

Упражнение 23 Два угла треугольника равны 60 о и 40 о. Под какими углами видны его стороны из центра описанной около него окружности? Ответ: 120 о, 80 о и 160 о.

Упражнение 24 Ответ: 100 о. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника АВС.

Упражнение 25 Ответ: 30 о, 45 о и 105 о. Точки А, В, С, расположенные на окружности, делят эту окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 7. Найдите углы треугольника АВС.

Упражнение 26 Ответ: 122 о. Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58 о. Найдите угол С этого четырехугольника.

Упражнение 27 Ответ: 108 о. Стороны четырехугольника ABCD стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно 95 о, 49 о, 71 о, 145 о. Найдите угол B этого четырехугольника.

Упражнение 28 Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги, градусные величины которых относятся как 4:2:3:6. Найдите угол A четырехугольника АВСD. Ответ: 60 о.

Упражнение 29 Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80 о и 60 о. Найдите два других угла четырехугольника. Ответ: 100 о и 120 о.

Упражнение 30 Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как 2:3:4. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ: 90 о.

Упражнение 31 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 о, угол CAD равен 35 о. Найдите угол ABD. Ответ: 70 о.

Упражнение 32 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 75 о, угол CAD равен 35 о. Найдите угол ABC. Ответ: 110 о.

Упражнение 33 Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 110 о, угол ABD равен 70 о. Найдите угол CAD. Ответ: 40 о.

Упражнение 34 Ответ: Против угла в 30 о. Углы треугольника равны 30 о, 65 о и 85 о. Какая из сторон треугольника расположена дальше от центра описанной окружности?

Упражнение 35 Найдите диагональ прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 6 см. Ответ: 12 см.

Упражнение 36 Ответ: R. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R?

Упражнение 37 Ответ: 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120 о. Найдите диаметр описанной окружности.

Упражнение 38 Меньшая сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60 о. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5 см.

Упражнение 39 Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 20 см, средняя линия 5 см. Найдите боковые стороны трапеции. Ответ: 5 см.

Упражнение 40 Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию. Угол при основании равен 60 о. Где расположен центр описанной около данной трапеции окружности? Ответ: В середине большего основания.

Упражнение 41 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, если стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 2,5.

Упражнение 42 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны 1. Ответ: 2,5.

Упражнение 43* Можно ли описать окружность около пятиугольника с углами 80 о, 90 о, 100 о, 130 о, 140 о ? Решение. Установим соотношение между углами вписанного пятиугольника ABCDE. Заметим, что углы A и C опираются на дуги, в сумме составляющие всю окружность плюс дугу DE. Из этого вытекает, что сумма любых двух несоседних углов любого вписанного пятиугольника больше 180 о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого пятиугольника нельзя описать окружность.

Упражнение 44* Докажите, что если сумма любых двух несоседних углов пятиугольника ABCDE больше 180 о, то существует пятиугольник с такими же углами, около которого можно описать окружность. Решение. Искомым пятиугольником является пятиугольник ABCDE, для которого

Упражнение 45* Можно ли описать окружность около шестиугольника с углами 100 о, 110 о, 120 о, 120 о, 130 о, 140 о ? Решение. Заметим, что сумма любых трех несоседних углов вписанного шестиугольника равна 360 о. Указанные в задаче углы не удовлетворяют этому условию, и, значит, около такого шестиугольника нельзя описать окружность.

Упражнение 46* Четыре последовательных угла вписанного шестиугольника равны 100 о, 110 о, 120 о, 120 о. Найдите оставшиеся два угла. Ответ. 140 о и 130 о.

Упражнение 47* Докажите, что сумма любых трех несоседних углов вписанного семиугольника больше 360 о. Решение. Угол A опирается на всю окружность без дуги BG. Угол C опирается на всю окружность без дуги BD. Угол E опирается на всю окружность без дуги DF. В сумме эти углы опираются на более чем две окружности. Следовательно, их сумма больше 360 о.