Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г. Галилей Выполнили работу: Бравков Илья и Першина Анна, ученики 9 класса ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЛИЦЕЯ

Простейший из многоугольников треугольник играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о « геометрии треугольника » как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах можно найти в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона. Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий.

Основные определения Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник вписанным в эту окружность.

Вневписанная окружность Если рассмотреть дополнительно биссектрисы трех пар внешних углов треугольника, то получаются еще три замечательных точки центры вневписанных окружностей Биссектрисы внешних или внутренних углов треугольника образуют центры окружностей касающихся прямых АВ, ВС, СА.

Вневписанная окружность В итоге получаем четыре окружности с центрами О, О а, O b, O c, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других вневписанными окружностями.

Вневписанная окружность Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Шесть биссектрис треугольника три внутренние и три внешние пересекаются по три в четырех точках центрах вписанной и трех вневписанных окружностей.

Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника Теорема. Пусть K - точка касания вневписанной окружности с продолжением стороны АС треугольника АВС. Тогда длина отрезка равна полупериметру треугольника АВС.

Доказательство: 1 ). Пусть точки К 2 и К 3 точки касания вневписанной окружности с прямыми АВ и ВС соответственно. 2). СК 1 = СК 3, ВК 2 = ВК 3, АК 1 = АК 2 ( по свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки). 3) Р = АС + СВ + АВ = = АС + СК 3 + ВК 3 + АВ = = АС + СК 1 + ВК 2 + АВ = = АК 1 + АК 2 = 2АК 1 Значит, АК 1 = Р : 2

Соотношения между радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей

Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач Задача 2. Дан треугольник АВС со сторонами а, в, с. Найти длину отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вневписанных окружностей. Решение. Пусть AQ=y. Тогда AS=y,QC=CT=b-y,BS=BT, а поэтому c+y=a+(b-y), Аналогично можно вычислить и длины других отрезков.

Решение задач на доказательство З ЗЗ Задача3. Прямые PA и PB касаются окружности с центром О (А и В – точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки РА и РВ в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной. Р РР Решение:

Задача 4. Четырёхугольник ABCD описан около окружности. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ώ1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD ; окружность ώ 2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ώ лежат на одной прямой

Пусть для определённости точка O лежит на продолжении отрезка AB за точку B. Обозначим через P и Q точки пересечения KL с окружностью ώ, через M и N – точки касания сторон BC и AD с ώ. Проведём касательные l 1 и l 2 к в точках P и Q. Обозначим через угол между касательной l 1 (или l 2 ) и хордой PQ. При гомотетии с центром O, переводящей окружность ώ 1 в окружность ώ, касательная BC в точке K перейдёт в l 2 ; при гомотетии с центром O, переводящей окружность ώ 2 в ώ, прямая AD перейдёт в l 1. Поэтому BC || l 2 и AD || l 1 и, следовательно, LKC= KLD =. Кроме того, BMN = ANM как углы между касательной и хордой. Четырёхугольник KLNM – равнобедренная трапеция и NMC = MND =. Таким образом, хорды PQ и MN параллельны и стягивают равные дуги величиной 2 Следовательно, средняя линия этой трапеции проходит через центр окружности ώ. Но середина KM совпадает с серединой BC (известно, что точки касания стороны треугольника со вписанной и вневписанной окружностью симметричны относительно середины стороны), и середина LN совпадает с серединой AD.

Список используемых источников информации Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для классов средней школы, 9 издание.- М.: Просвещение, Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника // Квант 7, Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: «Педагогика», Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность // Математика в школе 3, Гохидзе М. Г. О вневписанной окружности и задачах по стереометрии.// Математика в школе 5, О свойствах центра вневписанной окружности // Квант 2, Шарыгин Н. Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение,1991.-С

Спасибо за внимание