С ф е р аС ф е р а

Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.

Уравнение сферы. Пусть O(a; b; c) - центр сферы в декартовой системе координат, R - радиус сферы, A(x; y; z) - произвольная точка сферы. Тогда OA 2 =R 2 или (x-a) 2 +(y-b) 2 +(z-c) 2 = R 2. Мы получили уравнение сферы с центром O(a; b; c) и радиусом R. В частности, если центром сферы является начало координат, то имеем уравнение x 2 +y 2 +z 2 = R 2. Заметим, что шар задается неравенством (x-a) 2 + (y-b) 2 + (z-c) 2 ЈR 2.

Теорема: Любое сечение шара плоскостью есть круг. Перпендикуляр, опущенный из центра шара на секущую плоскость, попадает в центр этого круга.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Касательная плоскость перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Прямая, называется касательной, если она имеет со сферой ровно одну общую точку. Такая прямая перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Через любую точку сферы можно провести бесчисленное множество касательных прямых.

Взаимное расположение двух шаров. Если два шара или сферы имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются. Их общая касательная плоскость Перпендикулярна линии центров (прямой, соединяющей центры обоих шаров).

Касание шаров может быть внешним и внутренним.

Две сферы пересекаются по окружности. Линия центров перпендикулярна плоскости этой окружности и проходит через ее центр.

Расстояние между центрами двух шаров равно 5, а радиус одного из шаров равен 3. Выберите те значения, которые может принимать радиус второго шара. Две сферы одного радиуса, равного 5, пересекаются, а их центры находятся на расстоянии 8. Найдите радиус окружности, по которой сферы пересекаются.

Вписанная и описанная сферы Сфера (шар)называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней этого многогранника

Задача Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а угол между основанием и боковой гранью равен 60 градусам. Определить радиус вписанной сферы.

1 На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6, 8 и 10. Радиус шара равен 7. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.

2 Сфера радиуса 8 касается всех сторон ромба со стороной 16 и острым углом. Найти расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

3 Радиусы двух шаров 29 и 25, а расстояние между их центрами 36. Определить, чему равен радиус окружности, по которой пересекаются поверхности шаров.

4 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 9, а боковое ребро равно 14. Найдите радиус описанной сферы.

Домашнее задание § 3 575, 577, 578, 580.