Замечательные линии и точки треугольника

Цель работы: Рассмотреть основные элементы треугольника Рассмотреть основные элементы треугольника Рассмотреть свойства замечательных точек и линий треугольника Рассмотреть свойства замечательных точек и линий треугольника Систематизировать материал Систематизировать материал Научиться практически использовать теоретические знания Научиться практически использовать теоретические знания

Из истории замечательных точек треугольника

ТРЕУГОЛЬНИК, ПРОСТЕЙШИЙ И НЕИСЧЕРПАЕМЫЙ

BC Вершина Сторона Внутренний угол Внешний угол Основные элементы треугольника A А В С

Виды треугольников AAA B B B CC C РавностороннийРавнобедренныйРазносторонний основание боковые AB=BC AB=BC=ACABBCAC

A Виды треугольников B B B A A C C C катеты A=90° A>90° гипотенуза A

Медиана треугольника Центр масс м А В С А1А1 С1С1 В1В1 Центроид

Медиана А В С М КD S 1 =S 2 =S 3 =S 4 =S 5 =S 6 S1S1 S2S2 S3S3 S6S6 S4S4 S5S5 O AO:OM=2:1 Центроид (барицентр)

Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника. Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника. Длину медианы можно найти по формуле Длину медианы можно найти по формуле

Биссектриса A B C O F D E AB:AC=BE:EC

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то AB/AD = BC/AC Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны. Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противолежащей стороны, то AB/AD = BC/AC Длина биссектрисы Длина биссектрисы

Биссектриса Дано: АВС; АВ=с, ВС=а, АС=в. ВD – биссектриса. Найти: ВD - ? А B C D x b c a

Высота A A A B B B C C C Е D F O Ортоцентр O N K M D

S = ½a ah x a a h a Высота треугольника

Задача Дано: ABC – остроугольный Высоты AA1;BB1;CC1 пересекаются в точке H. Доказать: Ортоцентр H треугольника является центром окружности вписанной в треугольник A1B1C1.

Дано: Найти: АВСВ –ромб MK; АК; KD. АС=16см ВD=12см АС и ВD – диагонали. M C D K A B o Задача.

Серединный перпендикуляр LB F D E K A C M H

A C B O A CB O M N K M K A B C M K N O

Прямая Эйлера В H O A C OM:MH=1:2 M

Трисектрисы A C B KL M

ВНЕШНИЙ «НАПОЛЕОНОВСКИЙ» ТРЕУГОЛЬНИК

Теорема Чевы B A C A1A1 B1B1 C1C1 C BA 1 A 1 C CB 1 B 1 A C 1 A 1 B 1

Теорема Менелая А В С В1В1 К А1А1 С1С1 Дано: АВС; КСАВ; С 1 В 1 – прямая. Доказать: АС 1 В 1 С ВА 1 С 1 В В 1 А А 1 С =1

Задача Дано: АВС; ВМ-медиана; т. Р лежит на стороне АВ; т. Q на стороне ВС; АР = 2; BQ = 6 PQ пересекает ВМ в точке R; РВ 5 QC Найти: BR RM В А Р С М R Q S

Средняя линия С В М Р А Дано: АВС - равносторонний. АВТК;АВ=24; МР - ср.линия; МО = ОР; Найти: ТК - ? К Т О