1 МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

2 Численные методы Автор курса лекций: Породнов Борис Трифонович, д. ф.-м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ Екатеринбург 2008 решения задач механики сплошных сред 4. Турбулентность. Пограничный слой

3 Модуль 5 ТУРБУЛЕНТНОСТЬ Численные методы…Лекция 18

4 Содержание Лекция 18. Устойчивость стационарного движения вязкой среды Лекция 19. Теория Прандтля. Турбулентное движение в трубах Численные методы…Лекция 18

Устойчивость стационарного движения вязкой среды Лекция Численные методы…Лекция 18

6 Цели изучения: Проблема устойчивости движения вязкой среды : - условие устойчивого движения в трубах, - критерий устойчивости – критическое число Рейнольдса, - условие устойчивого движения среды между вращающимися коаксиальными цилиндрами, - решение Тейлора проблемы устойчивости. Особенности турбулентного движения : - слоистый (ламинарный) и вихревой характер движения, - наличие поперечных составляющих скорости, - нестационарность скоростей и давления, - квазипериодичность движения. Уравнения Рейнольдса: - о средненные уравнения Навье-Стокса, - тензор турбулентных напряжений, - коэффициент турбулентной вязкости Численные методы…Лекция 18

7 Содержание Устойчивость стационарного движения вязкой среды: Общее уравнение для пульсационной составляющей скорости, Критическое число Рейнольдса Устойчивость движения среды между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами: Условие устойчивости в общем виде, Условие устойчивого движения среды между вращающимися коаксиальными цилиндрами, Точное решение Тейлора для вязкой среды Особенности турбулентного движения: Характерные особенности турбулентного движения, Критерий устойчивости Уравнения Рейнольдса: Правила осреднения скоростей и давлений, Осредненные уравнения Навье-Стокса, Тензор турбулентных напряжений, Коэффициент турбулентной вязкости Численные методы…Лекция 18

Устойчивость стационарного движения вязкой среды В теме 8 рассмотрено несколько точных решений уравнений движения вязкой среды. Эти уравнения удавалось получить в том случае, когда из уравнения Навье- Стокса по тем или иным причинам исключалось нелинейное конвективное слагаемое ( ).Навье Стокса Существуют точные решения гидродинамических уравнений и с нелинейным конвективным слагаемым, например, в задаче Стокса. Однако даже самые точные решения могут не описывать реальных движений среды. Чтобы точные решения полностью описывали реальные движения, необходимо, чтобы эти решения были устойчивыми по отношению к бесконечно малым возмущениям. Если бесконечно малое возмущение, возникшее случайно, продолжает в дальнейшем расти с течением времени, то такое движение является абсолютно неустойчивым.неустойчивым. Рассмотрим принципиальную постановку проблемы устойчивости стационарного движения неcжимаемой среды. Пусть некоторое движение среды описывается стационарным уравнением Навье-Стокса в отсутствии внешних сил. Пусть и есть точное решение этого стационарного уравнения. Тогда при подстановке решения в уравнение Навье-Стокса оно удовлетворяется тождественно, т.e. (10.1.1)

Общее уравнение для пульсационной составляющей скорости Пусть на полученное точное решение наложено бесконечно малое возмущение (10.1.2) Это означает, что в любой момент времени имеют место случайные пульсации скорости движения и давления около их стационарных значений. Тогда, очевидно, возмущенное движение должно быть и нестационарным и должно удовлетворять нестационарному уравнению Навье-Стокса. Подставляя (10.1.2) в нестационарное уравнение движения, пренебрегая слагаемыми второго порядка малости в конвективном слагаемом и учитывая, что υ 0 и P 0 должны удовлетворять стационарному уравнению Навье-Стокса (10.1.1), получим: (10.1.3) Очевидно, добавки к скорости, как и к давлению, должны равняться нулю на ограничивающих движение неподвижных поверхностях из-за прилипания среды к стенке и отсутствия пульсации давления на ней. Таким образом, для нахождения добавки имеется линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с параметрами, зависящими только от координат и времени. Общее решение такого уравнения имеет вид: (10.1.4)

Критическое число Рейнольдса Здесь частоты в общем случаи являются комплексными и не произвольны, а определяются решением уравнения Навье-Стокса, условием несжимаемости и граничными условиями. Очевидно, что, если среди спектра частот окажется хотя бы одна частота, комплексная часть которой положительна, то возмущение будет с течением времени неограниченно расти, и первоначальное стационарное движение будет абсолютно неустойчиво. Для того чтобы стационарное движение было устойчивым к бесконечно малым возмущениям, а, следовательно, и могло существовать в природе, необходимо, чтобы мнимая часть всех частот была бы отрицательной. Тогда бесконечно малые случайные возмущения, возникающие в движущейся жидкости, с течением времени будут затухать. При исследовании устойчивости плоского движения Пуазейля решение (10.4) ведёт себя следующим образом. При заданной геометрии с увеличением скорости движения, наконец, достигается такая скорость или число Рейнольдса, при котором в спектре частот появляется одна частота с. Это число определяет границу устойчивости движения и может быть названо критическим числом Рейнольдса - Re кр. При дальнейшем увеличении скорости (числа Рейнольдса) появляется всё больше и больше частот, мнимая часть которых положительна, что указывает на всё увеличивающуюся неустойчивость движения.Рейнольдса неустойчивостьдвижения

Устойчивость движения среды между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами Идея исследования проблемы устойчивости такого движения среды между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами с радиусами R 1

Условие устойчивости в общем виде Силы F ц и F P могут быть выражены через момент М 0 количества движения частицы: Если мысленно сдвинуть частицу вдоль радиуса в некоторое новое положение на расстоянии r от оси вращения и считать движение среды идеальным, то при таком перемещении частицы должен сохраняться её момент количества движения. Поэтому в новом положении на частицу действует центробежная сила, равная Однако, в стационарном состоянии на расстоянии r от оси вращения на частицу действует определяемая градиентом давления сила, возвращающая её к оси вращения, и равная ей центробежная сила, т.е. Можно предположить, что движение будет устойчивым, если Полагая смещение частицы малым, момент количества движения можно разложить в ряд и, ограничиваясь слагаемыми первого порядка малости по Δr = r – r 0, получим M M 0 + (M/r) r= r 0 Δr. Из 4-го неравенства получаем условие устойчивости в общем виде: (10.2.1)

Условие устойчивого движения среды между вращающимися коаксиальными цилиндрами Подставляя значения M и M/r в условие устойчивости (10.2.1), получим: (10.2.2) Используя определение скорости углового вращения υ, из (10.2.2) следует условие: Подставляя постоянную a из точного решения (см. п ), имеем: (10.2.3) Условие (10.2.3) представляет собой условие устойчивого движения среды между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами. Очевидно, для рассматриваемого случая, когда R 2 > R 1, движение будет устойчивым, если в любой точке зазора выполняется неравенство (10.2.4) Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Цилиндры вращаются в разные стороны, т. е. ω 1 и ω 2 имеют разные знаки. Внутри зазора скорость вращения среды изменяет знак, следовательно, неравенство (10.2.4) не может быть выполнено в любой точке зазора. Поэтому движение в этом случае неустойчиво при любых значениях ω 1 и ω 2.

14 Частные случаи устойчивого и неустойчивого движения 2.Цилиндры вращаются в одну и ту же сторону. Если это направление вращения цилиндров считать положительным, то, ω 1 > 0, ω 2 > 0 и, следовательно, ω > 0 в любой точке зазора. Поэтому условие устойчивости в этом случае имеет вид: (10.2.4) 3. Вращается только внешний цилиндр, т.е. ω 1 = 0, ω 2 0, тогда ω 2 > 0, ω > 0, и, следовательно, движение устойчиво при любых скоростях вращения внешнего цилиндра. 4. Вращается только внутренний цилиндр, т.е. ω 2 = 0. Из (10.2.3) следует, что R 1 ω 1 2 ω 0 ω < 0 и, следовательно, движение неустойчиво при любых скоростях вращения внутреннего цилиндра. Все сказанное выше можно изобразить графически (рис.10.2). Видно, что график удовлетворяет всем рассмотренным выше случаям. Однако, категоричные утверждения в некоторых случаях с физической точки зрения кажутся сомнительными. Например, утверждение, что движение будет всегда Рис неустойчивым, если вращается только внутренний цилиндр, вряд ли справедливо при очень медленных вращениях внутреннего цилиндра.

Точное решение Тейлора для вязкой среды Точное решение с учётом вязкости среды, полученное Тэйлором с использованием общего метода исследования проблемы, который описан в начале раздела, приводит к результатам, изображенным на рис Тэйлором Исследование удалось провести до конца только в случае малых зазоров при выполнении следующего условия: На рис видно, что действительно, если вращается только внутренний цилиндр ( ), то Рис существует некоторая критическая скорость его вращения. Если скорость вращения внутреннего цилиндра меньше, то движение жидкости в зазоре остается устойчивым, как и подсказывает физическая интуиция. Точное решение для даёт следующее выражение: Как видно, оригинальный и простой метод Релея даёт правильную оценку устойчивости некоторых случаев движения в зазоре: он правильно определяет асимптоту точного решения и верно предсказывает устойчивость движения в том случае, если вращается только внешний цилиндр.

Особенности турбулентного движения Перейдём к изучению движения среды после потери устойчивости движения. Рейнольдс впервые (1883г.) обратил внимание на то, что в круглой цилиндрической трубе могут существовать две резко отличающиеся формы движения жидкости. Опыты Рейнольдса заключались в следующем. В трубку с движущейся жидкостью вводилась тонкая трубочка, из которой в жидкость поступало некоторое красящее вещество (рис.10.4). При малых скоростях движения жидкости в трубке краска распространялась Рейнольдс Опыты Рейнольдса вдоль трубы в виде тонкой прямолинейной нити с красящим веществом, простирающейся от носика трубки до её конца (рис.10.4а.). При постепенном увеличении скорости движения в трубке, наконец, достигается такая скорость, при которой струйка красящего вещества начинает произвольно изгибаться, и затем размываться. окрашивая равномерно всю жидкость. Очевидно, до этого момента все частицы жидкости в трубе двигались параллельно оси трубы. Такое движение Рейнольдс назвал ламинарным, т.е. слоистым. После потери устойчивости частицы жидкости, очевидно, приобретают некоторые поперечные составляющие скорости, почему и происходит равномерное окрашивание поля течения. Такое движение Томсон назвал турбулентным, т.е. вихревым.Томсонтурбулентным

Характерные особенности турбулентного движения Характерные особенности турбулентного движения в трубе: 1. Наличие поперечных составляющих скорости движения частиц среды. 2. Если ламинарное движение может быть как установившимся, так и неустановившимся (нестационарным), то турбулентное движение всегда неустановившееся, т.к. мгновенные скорости частиц среды в данной точке пространства, занятого средой, всё время изменяются как по направлению, так и по величине. неустановившееся 3. Турбулентное движение можно считать квазипериодическим, поскольку через некоторый неопределенный промежуток времени в данной точке пространства скорость снова может принять прежнее мгновенное значение.квазипериодическим Турбулентное движение среды действительно всегда является вихревым. Но и большинство ламинарных течений также являются вихревыми, т.е. движениями, для которых ротор скорости в каждой точке пространства, занятого движущейся средой, не равен нулю (см п 7.4). Рейнольдс, проводя опыты с различными жидкостями в трубах различных диаметров, установил, что переход от ламинарного движения к турбулентному наступает, когда безразмерная комбинация величин достигает некоторой определенной величины. Эту безразмерную комбинацию называют числом Рейнольдса и обюзначают Re = ρυd/η.переход от ламинарного движения к турбулентному

Критерий устойчивости Потеря устойчивости установившегося ламинарного движения жидкости в трубе, а, следовательно, переход ламинарного движения в турбулентное происходит всегда при одном и том же числе Рейнольдса, которое называют критическим числом Рейнольдса. Ч исло Рейнольдса игpaeт важнейшую роль не только в динамическом подобии потоков вязкой несжимаемой среды, но и является критерием устойчивости их движения. Для цилиндрической трубы с гладкими стенками Поэтому в случае случайные возмущения, возникающие в потоке, затухают вниз по потоку, и движение среды сохраняет свой ламинарный характер. Если возмущения, не передаваясь вверх по потоку, увеличиваются вниз по течению среды. Сглаживанием условий входа в трубу и устранением шероховатостей её стенок можно существенно «затянуть» переход ламинарного течения в турбулентный. В таких случаях можно наблюдать ламинарное движение при и более. Этот факт подтверждает то обстоятельство, что, по-видимому, истинной неустойчивости движения среды не существует, a наблюдаемая неустойчивость определяется размерами возмущений. Опыт показывает, что не является универсальным и оно характерно только для круглой цилиндрической трубы. Так, в расширяющейся трубе, а в сужающейся трубе. При обтекании шара.в расширяющейся трубе При обтекании шара Т.о., для различной геометрии течения существует соответствующее критическое число Рейнольдса.

Уравнения Рейнольдса Свойства турбулентного движения очень сложны и известны главным образом из экспериментов. Опыты же показывают, что при установившемся турбулентном движении скорость в данной точке пространства всё время изменяется как по величине, так и по направлению. Так же изменяется и давление. Если измерить изменение мгновенной продольной компоненты скорости в данной точке трубы с течением времени высокочувствительным прибором, то можно получить график типа представленного на рис.10.5.турбулентном движении Как видно, при установившемся турбулентном движении компонента скорости вдоль оси х трубы пульсирует около некоторого среднего значения, определяющего расход среды в трубе. Если бы использовать более чувствительный и менее инерционный прибор, то обнаружили бы, что каждый прямолинейный участок кривой рис.10.5 представляет собой некоторую ломаную зигзагообразную линию. Очевидно, поперечная составляющая скорости пульсирует около среднего значения, равного нулю. Среднее значение i - компоненты скорости и давления равны: Здесь T - промежуток времени, достаточно Рис большой по сравнению с характерным временем основных пульсаций скорости, но малый по сравнению со временем релаксации нестационарного движения.

Правила осреднения скоростей и давлений Мгновенное значение скорости или давления в любой момент времени можно представить следующим образом: Здесь и - пульсационные составляющие скорости и давления. Предположим, что турбулентное движение может быть описано точными решениями уравнения Навье-Стокса для осреднённых величин. Проведём осреднение каждого слагаемого уравнения движения по следующим правилам осреднения. Пусть есть некоторая характеристика движения, мгновенное значение которой в данной точке пространства можно в любой момент времени представить в виде Предполагается, что T выбрано так, что проведённое осреднение даёт величину, при повторном осреднении неизменяющуюся. По определению. 1. Среднее значение суммы величин равно сумме средних: 2. Среднее значение произведения двух величин, из которых лишь одна испытывает пульсации, определяется произведением средних: 3. Среднее значение произведения двух пульсирующих величин не равно произведению средних: 4. Среднее значение производной от пульсирующей характеристики определяется производной от её среднего значения:

Осредненные уравнения Навье-Стокса Следует заметить, что невозможно осреднить все характеристики движения одинаковым образом, не нарушая вида основных физических законов сохранения. Например, если в уравнении состояния идеального газа одинаковым образом осреднить P, ρ и T, то в соответствии с вышеприведенными правилами получим: В таком виде закон Менделеева-Клапейрона не справедлив для средних величин, что физически некорректно. Поэтому в различных теориях турбулентности применяют различные правила осреднения величин, характеризующих движение среды.Клапейрона По вышеприведенным правилам проведем осреднение уравнений Навье-Стокса для несжимаемой среды: (10.4.1) Осреднение каждого слагаемого в этих уравнениях даёт: Осреднённые уравнения Навье-Стокса имеют вид: (10.4.2)

Тензор турбулентных напряжений Первые два слагаемых в правой части (10.4.1) можно записать в виде: (10.4.3) Осредненное уравнение Навье-Стокса (10.4.2) с учетом (10.4.3) можно записать : (10.4.4) Видно, что уравнения движения для осредненных величин имеют тот же самый вид, что и для мгновенных, но при этом возникает слагаемое, учитывающее дополнительные напряжения. Это слагаемое называют тензором турбулентных напряжений Т ik, который является симметричным тензором, и он равен: (10.4.5) При турбулентном движении полный тензор напряжений можно записать в виде: (10.4.6) Уравнения (10.4.4) называют уравнениями Рейнольдса для осредненного (турбулентного) движения вязкой несжимаемой среды. Происхождение дополнительных напряжений при турбулентном движении физически очевидно. Вязкие напряжений возникают вследствие направленного переноса импульса молекулами из слоя среды, движущегося с бόльшей макроскопической скоростью, к соседнему, движущемуся с меньшей скоростью. При турбулентном же движении перенос импульса от одного слоя к другому, соседнему происходит не молекулами, а малыми макроскопическими частицами среды, движущимися с макроскопическими пульсационными скоростями. Поэтому по аналогии с обычной вязкой средой турбулентно движущуюся среду рассматривают как среду, обладающую некоторой дополнительной турбулентной вязкостью.

Коэффициент турбулентной вязкости Записывают по аналогии с тензором вязких напряжений тензор турбулентных напряжений в осреднённом виде: (10.4.7) В этом случае центр тяжести исследования турбулентного движения переносится на изучение турбулентной вязкости, и уравнение Рейнольдса принимает форму: (10.4.8) Однако упрощение проблемы только кажущееся, т.к. коэффициент турбулентной вязкости η Т в отличие от коэффициента динамической вязкости η не является достаточно консервативным параметром, характеризующим только саму среду, а зависит от свойств движения, в частности, от числа Рейнольдса. Причем, при турбулентном движении коэффициент турбулентной вязкости значительно больше коэффициента динамической вязкости η Т >> η. Таким образом, для определения осредненных характеристик турбулентного движения несжимаемой среды имеется четыре уравнения (10.4.6). Однако к числу неизвестных добавилось еще шесть неизвестных компонент симметричного тензора турбулентных напряжений. Для замыкания системы уравнений имеется два пути. Необходимо или каким-то образом выразить компоненты тензора турбулентных напряжений через осредненные скорости и их производные (как предлагают в теории Прандтль и Карман) или дополнить систему уравнений какими-либо уравнениями, устанавливающими связь между средними и пульсационными скоростями или их моментами (Фридман). К сожалению, ни тот, ни другой путь сегодня не привел к созданию удовлетворительной количественной теории турбулентного движения. ПрандтльКарман

24 Выводы Введены основные определения и получены основные законы сохранения, описывающие турбулентное движение вязкой среды: Условие устойчивости движения среды между коаксиальными цилиндрами. Критерий устойчивости – критическое число Рейнольдса. Особенности турбулентного движения. Уравнения Рейнольдса для осредненного движения. Тензор турбулентных напряжений. Коэффициент турбулентной вязкости Численные методы…Лекция 18

25 Информационное обеспечение лекции 1.Бабаков А.В., Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Численное исследование течения вязкого теплопроводного газа у тупого тела конечных размеров.- Изв. АН СССР. Сер. Механ. жидк. и газа, 1975, 3, с Бабаков А.В. Численное моделирование некоторых задач аэрогидродинамики.-М.: ВЦ АН СССР, 1986, с Белоцерковский О.М., Северинов Л.И. Консервативный метод потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом.- ЖВМ и МФ, 1973, 13, 2, с Самарский А.А. О консервативных разностных схемах.- В кн.: Проблемы прикл. матем. и механ. М.: Наука, 1971, с Численные методы…Лекция 18

26 Справочные данные Курс лекций является частью учебно-методического комплекса «Численные методы расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда». Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ. Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ. электронный адрес: