Декартова система координат в пространстве и на плоскости. Полярная система координат на плоскости. Прямая на плоскости. Кривые второго порядка

Опр.: Упорядоченные координатные оси, не лежащие в одной плоскости и имеющую одну общую точку, называются косоугольной системой координат в пространстве. Если координатные оси взаимно перпендикулярны, то косоугольную систему координат называют прямоугольной системой координат Декарта в пространстве и обозначают хуz. Опр.: Множество упорядоченных троек чисел в избранной системе координат называется трехмерным пространством.

z z 1 P(х 1; у 1 ; z 1 ) у 1 у х 1 х Элементы системы координат: координатные плоскости Оху, Оуz, Охz; оси координат: Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат; Оz – ось аппликат. Точка О – начало координат; упорядоченная тройка чисел (х; у; z) – координаты произвольной точки Р. у у 1 Р(х 1 ; у 1 ) 0 х 1 х Частным случаем является система координат на плоскости, например координатная плоскость Оху.

у Р (х 1 ; у 1 ) r φ 0 А х Точка на плоскости может быть задана полярной системой координат, при этом положение точки Р описывается углом поворота положительной полуоси Ох против часовой стрелки до положения луча ОР и расстоянием точки Р от начала координат. Из Δ АРО, где, имеем:

Примеры 1) Задать точку плоскости А (-1; 1) в полярных координатах. Решение. r= Таким образом А 2) Задать точку плоскости В (0,5; π/4) в декартовых координатах. Решение. х 1 =0,5cosπ/6 =0,5 у 1 =0,5sin π/6= 0,5·1/2. Таким образом В (0,25 ; 0,25)

Прямые на плоскости Прямая на координатной плоскости может быть получена в результате пересечения произвольной плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 и координатной плоскости. Составим уравнение прямой, принадлежащей, например, плоскости хОу. Эта прямая определяется системой двух уравнений:

Таким образом Ах + Ву + С = 0 (*) – общее уравнение прямой на координатной плоскости, причем (А; В) является нормальным вектором этой прямой. n L Опр.: геометрическое место точек, удовлетворяющее уравнению (*), называется прямой. у b - уравнение прямой в отрезках на осях а 0 L у L - уравнение прямой, М 1 (х 1 ;у 1 ) М 2 (х 2 ;у 2 ) проходящей через две точки

у L b φ 0 х L: у= kх+b, где k= tgφ – уравнение прямой с угловым коэффициентом; L: у – у 1 = k (х – х 1 ) – уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через т. М (х 1 ; у 1 ).

Угол между прямыми Пусть прямые заданы уравнением А 1 х + В 1 у + С 1 =0 и А 2 х + В 2 у + С 2 =0 Угол между этими прямыми найдем из формулы: Если прямые заданы уравнением с угловыми коэффициентами, то угол между ними находим по формуле:

y L 2 L1L1 0 х Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых: L 1 ||L 2, если или k 1 =k 2 L 1 L 2, если А 1 А 2 = -В 1 В 2 или k 1 k 2 = -1 φ

Примеры 1. Определить острый угол между прямыми у = 3х + 1 и у = -2х – 5. Решение. Полагая k1= 3 и k2= -2 и применяя формулу (1), получим tg = -2–3/1+(-2) 3= -5/-5= 1, т.е. = /4= 0,785 рад. 2. Показать, что прямые 7х + 3у – 5 = 0 и 14х + 6у + 1 = 0 параллельны. Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициентом, получаем: у= -7/3х+5/3 и у= -7/3х+1/14. Угловые коэффициенты этих прямых равны: k 1 = k 2 = -7/3, т. е. прямые параллеьны. 3. Даны вершины треугольника А (-5; 0), В (-3; -2) и С (-7; 6). Найти уравнения высот треугольника AD, BN и CM. Решение. По формуле (4) найдем угловой коэффициент стороны ВС: kВС= 6+2/-7–(-3)= 8/-4= -2. В силу перпендикулярности прямых AD и BC k AD = -1/k ВС, т. е. k AD = ½. Уравнение высоты, проведенной из вершины А будет иметь вид: у–0= ½(х+5) или х–2у+5= 0.

Линии второго порядка на плоскости

Линии второго порядка на плоскости. Общее уравнение линии второго порядка на плоскости: а 11 х 2 + а 22 у 2 + 2а 12 ху + а 10 х + а 20 у + а 00 = 0, где а а а , т. е. хотя бы одно из чисел а 11,а 12,а 22 не равно нулю. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Каноническое уравнение окружности с центром в точке М(х 0 ;у 0 ) и радиусом R. Уравнение окружности с центром в начале координат Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний каждой из которых до двух заданных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

- фокальное расстояние - фокальное расстояние, тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и r 1 + r 2 = 2а (const); a>c.

Выразим r 1 =, r 2 =, тогда аналитическое уравнение эллипса примет вид: Обозначив, получим каноническое уравнение эллипса:

Свойства эллипса 1.Эллипс – ограниченная кривая второго порядка. 2.Эллипс имеет вертикальную и горизонтальную оси симметрии, а так же центр симметрии. А 1 А 2 - большая ось (ОА 1 - полуось), В 1 В 2 – малая ось (ОВ 1 - полуось). 3.А 1, А 2, В 1, В 2 - вершины эллипса, причем 4. - называется эксцентриситетом эллипса,,т.е. 0<

5. Прямые называются директрисами (направляющими) т.о. имеем:, где d 1 = Пример: Дан эллипс найти полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис.

Гипербола Определение: Гиперболой называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

тогда фокусы будут иметь координаты F 1 (-c;0) и F 2 (c;0).

Выразим r 1 =, r 2 =, тогда аналитическое уравнение гиперболы примет вид: Обозначив, получим каноническое уравнение гиперболы:

Свойства гиперболы 1.Гипербола – неограниченная кривая второго порядка. 2.Гипербола обладает центральной симметрией. 3.А 1, А 2 – действительные вершины гиперболы; ось 2а – действительная, 2b – мнимая. 4.Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. 5.Гипербола имеет две асимптоты: 6.Эксцентриситет гиперболы: причем 7.Прямые - называется директрисами гиперболы причем

Примеры: Дана гипербола 16х 2 – 9у 2 = 144, найти: полуоси а и b; фокусы; эксцентриситет; уравнения асимптот; уравнения директрис. 16х 2 – 9у 2 =

Парабола Определение: параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки плоскости(фокус F) и фиксированной прямой (директриса d).

d – директриса параболы.

Выразим тогда аналитическое уравнение параболы аналитическое уравнение параболы примет вид: каноническое уравнение параболы таким образом получим каноническое уравнение параболы:

Свойства параболы 1.Парабола – неограниченная кривая второго порядка, расположенная в правой или верхней полуплоскости. 2.Парабола имеет одну ось симметрии – ось абсцисс или ось ординат.

Пример: Установить, что уравнение у 2 = 4х – 8 определяет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы. у 2 = 4х – 8 Представим уравнение в каноническом виде: у 2 = 4(х - 2) вершина параболы смещена вдоль оси ОХ вправо на две единицы. 1.А(2;0) – координаты вершины параболы. 2.2р = 4 р = 2 – параметр параболы уравнение директрисы параболы.