Работу выполнила Ученица 10 «Б» класса Шамсутдинова Ляйсан Учитель Шамсутдинова Р.Р. Школа г.

Геометрическое место точек. ГМТ некоторых фигур Кривые второго порядка. Эллипс Построение эллипса; Уравнение эллипса; Полуоси эллипса; Директриса; Эксцентриситет; Касательная к эллипсу; Свойство фокусов.

ГМТ – множество точек плоскости, обладающих данным свойством. Окружность – ГМТ, равноудаленных от данной точки на данное расстояние. Гипербола – ГМТ, для каждой из которых абсолютная величина разности до двух данных точек F 1 и F 2, есть величина постоянная. Парабола – ГМТ, равноудаленных от прямой и данной точки. Эллипс – ГМТ, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F 1, F 2, есть величина постоянная.

Y X O Окружность Парабола Гипербола Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F 1 и F 2 есть величина постоянная. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса. F1F1 F2F2 M N 2 a = F 1 М + F 2 M = F 1 N + F 2 N 2a>2c a>c 2c = F 1 F 2

Прикрепим концы нити, длинной 2a, с помощью кнопок к точкам F1 и F2. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. Вычерчиваем карандашом линию.

М(х; у), F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0), F 1 F 2 = 2с МF 1 + MF 2 = 2а 2а>2c

Так как, а^2 – с^2>0, то пусть а^2 – с^2 = b^2

b ac x O F1F1 F2F2 y Полуоси эллипса – это расстояния от центра эллипса до наиболее и наименее удаленных точек. Величины а – большая полуось, величина b – малая полуось. Названия «большая» и «малая» объясняются тем, что а>b. A B F 1 F 2 = 2с

Свойство эллипса. Эллипс – ГМТ, для каждой из которых отношение расстояния до данной точки F к расстоянию до данной прямой d равно постоянному положительному числу, которое меньше 1. d 1 и d 2 – директрисы эллипса. x O F1F1 F2F2 N N1N1 M M1M1 d1d1 y MF 1 MM 1 = NF 1 NN 1 MF 2 MM 2 = c a = c a

x y O F1F1 F2F2 d 1 и d 2 – директрисы эллипса параллельны малой оси эллипса и отстоят от его центра на расстоянии a 2 c a 2 c Фокусу F 1 соответствует прямая d 1 Фокусу F 2 соответствует прямая d 2 d1d1 d2d2 Директриса эллипса – это прямая, для которой отношение расстояния от M до данной точки F к расстоянию от M до данной прямой d равно постоянному положительному числу d = ± a 2 c

Форма эллипса (его «вытянутость») определяется значением эксцентриситета. Число называется эксцентриситетом эллипса и обозначается – e Чем ближе эксцентриситет к 1, тем больше эллипс «вытянут» вдоль оси Ox. Если e = 0, то a = b, то эллипс превращается в окружность. c a e = c a

M K KM – касательная к эллипсу. M – точка касания Свойство касательной: касательная, проходящая через M содержит биссектрису угла, смежного с углом F 1 MF 2. F1F1 F2F2 1 2

Если источник света поместить в один из фокусов эллипса, то лучи, отобразившись от эллипса, соберутся в другом его фокусе. F1F1 F2F2 M K Угол падения равен углу отражения. Свет отражается от кривой так же, как от касательной проведенной в точку касания.

Слово фокус в переводе с латинского означает «очаг», «огонь»; оно оправдывается следующим замечательным свойством эллипса. Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге эллипса и поместить точечный источник света («огонь») в одном фокусе, то лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во втором фокусе будет также виден «огонь» - изображение первого

Эллипс имеет самое непосредственное отношение к Вселенной. Еще Иоганн Кеплер (1571 – 1630) – немецкий астроном обнаружил, что планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов.