А1А1 А2А2 АnАn Р А3А3 Многогранник, составленный из n-угольника А 1 А 2 …А n n треугольников, называется пирамидой. Вершина Н высотой пирамиды Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды n-угольная пирамида. Многоугольник основание пирамиды А 1 А 2 …А n – основание пирамиды Треугольники А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Р и т.д. боковые грани пирамиды Отрезки А 1 Р, А 2 Р, А 3 Р и т.д. боковые ребра

Треугольная пирамида – этотетраэдр С А В S S Четырехугольная пирамида Н Н

Пятиугольная пирамида А1А1 А2А2 АnАn Р А3А3 Н Н Шестиугольная пирамида

Н правильной Пирамида называется правильной, если ее основание- правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину с центром основания, является ее высотой. Центром правильного многоугольника называется центр вписанной (или описанной около него окружности).

все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. Н А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р

апофемой. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Н А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему. Н А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р

С А В Н Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см. O D 5 см

С В А D Основанием пирамиды DАВС является треугольник АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды M

С В А D Основанием пирамиды DАВС является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ = 29 см, катет АС = 21 см. Ребро АD перпендикулярно к плоскости основания и равно 20 см. Найдите S бок

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна 360 см 2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 см. Найти S пп. D Н O А B 240. K С М А D С В О K

D Н O А B 241. С Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 4 см и 5 см и меньшей диагональю 3 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 см. Найти S пп. М

Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30 0 и Найдите S п.пов. А D Н x В С 30 0 x 3 x

Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30 0 и Найдите S п.пов. А D Н В С Повторим

А В С D M F Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание. б) Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см O 40 N 41

Двугранные углы при основании пирамиды равны высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание Двугранные углы при основании пирамиды равны. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны; в) площадь боковой поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани, проведенную из вершины А1А1 АnАn D M F N А2А2 А3А3 А4А4 O

- Если двугранные углы при основании пирамиды равны - Если двугранные углы при основании пирамиды равны. - Если высоты боковых граней равны - Если высоты боковых граней составляют равные углы с высотой пирамиды. Высота пирамиды проходит через центр вписанной окружности. через центр вписанной окружности. А1А1 АnАn D M F N А2А2 А3А3 А4А4 O

А В С D M F Основанием пирамиды является треугольник с сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом Найдите площадь боковой поверхности пирамиды O N

В пирамиде все боковые ребра равны между собой. Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания; б) все боковые ребра составляют равные углы с плоскостью основания. А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р О В каких еще случаях высота пирамиды пройдет через центр описанной окружности?

А1А1 А2А2 А3А3 А4А4 А5А5 А6А6 Р О - Если боковые ребра равны - Если боковые ребра равны. Если все боковые ребра составляют равные угла с - Если все боковые ребра составляют равные угла с плоскостью основания. плоскостью основания. - Если все боковые ребра составляют равные углы с высотой пирамиды. пирамиды. Высота пирамиды проходит Высота пирамиды проходит через центр опис. окружности. через центр опис. окружности.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом Боковые ребра образуют с ее высотой, равной 16 см, углы в Найдите площадь основания пирамиды. А В С Р О На чертеже ошибка!

Для тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит во внешней области. А В С Р О О А С В S АВС

А Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см. В С D О 90 0 На чертеже ошибка!

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности – середина гипотенузы. А В С D 90 0 О 10 О А С В 10 12?

А1А1 А2А2 АnАn А3А3 Р Н Усеченная пирамида В1В1 В2В2 В3В3