Лекция 5 Модель перекрывающихся поколений (модель Самуэльсона-Даймонда) (ТШ, глава 12)

План лекции Введение. Предпосылки модели. Решение модели. - потребитель; - фирма; - равновесие; - временнóе равновесие; - построение фазовой диаграммы; Конвергенция. Динамическая неэффективность. Фискальная политика и неэквивалентность Барро-Рикардо. Пенсионные системы. Обзор модификаций модели - династии - эластичное предложение труда.

Много-много лет назад… Ойген Бем-Баверк предложил три причины существования процента: 1) Есть люди малообеспеченные или те, кто ожидают роста дохода/богатства в будущем, а есть те, кто ожидают, что их доходы будут уменьшаться (например, люди в возрасте) 2) близорукость; 3) доход, который приносят инвестиции в капитал.

Пол Самуэльсон взял первую идею и построил модель Samuelson P.A. An exact Consumption- Loan Model of Interest with or without the Social Contrivance of Money.// Journal of Political Economy, vol. 66 (1958), no 6, pp

Идея В экономике живут два типа индивидов: молодые и старые. Молодые индивиды работают и получают доход от труда. Старые индивиды не работают, и все, что им остается – это тратить свои сбережения. Такая модель позволяет объяснить, сколько сбережений делается в экономике, и по какой цене они ссужаются инвесторам.

Вклад Даймонда Спустя 7 лет Петер Даймонд «вставил» эту модель в модель экономического роста Солоу и получилась очень удачная модель перекрывающихся поколений (overlapping genarations model, OLG), известная также как модель Самуэльсона-Даймонда. Diamond P.A. National Debt in Neoclassical Growth Model. // American Economic Review, vol. 5 (1965), No 5, pp

Предпосылки модели (1) 1)Экономика закрытая. 2)Время дискретно.

Предпосылки модели (2) – рынок благ 3) Производится только одно благо, которое может как потребляться, так и инвестироваться.

Предпосылки модели (3) – рынки факторов 4) Факторы производства: труд и капитал 5) Производственная функция с постоянной отдачей от масштаба: Y(aK, aL) = aY(K, L); 6) Наблюдается нейтральный по Харроду технический прогресс темпом g: Y t = Y(K t, A t L t ), A t = (1+g)A t-1. 7) На рынках факторов наблюдается совершенная конкуренция => факторы оплачиваются по их предельным продуктам: Обратите внимание, что таким образом Даймонд внес в модель и третью причину существования процента, предложенную Бем-Баверком.

Предпосылки модели (4) - население 8) В период t рождается L t людей. 9) Темп прироста населения – n: L t = (1+n)L t-1. 10) Каждый индивид живет в течение двух периодов. Из (9) и (10) имеем, что в период t живет L t молодых и L t-1 пожилых индивидов. 11) В первом периоде он работает единицу времени, а во втором – не работает.

Предпосылки модели (5) - потребление 12) Полезность индивида зависит только от его потребления в первом и втором периодах. Для определенности предположим, что потребление в старости замещает потребление в молодости с постоянной эластичностью:

Предпосылки модели (6) - потребление 13) Потребитель максимизирует свою полезность при бюджетном ограничении

Предпосылки модели (7) – накопление капитала 14) В начале весь капитал в размере K 0 находится у пожилых. 15) Нет лага между инвестициями и производством. Из (12) и (13) следует, что к концу жизни пожилое поколение полностью расходует свой капитал. Поэтому на начало периода запас капитала складывается исключительно из сбережений молодого поколения. K t+1 = s t L t Обратите внимание, что здесь не фигурирует! Она встречается только в формуле равновесия на рынке капитала.

Предпосылки модели (8): Samuelson-Diamond vs Solow МодельSamuelson-DiamondSolow Количество благ11 Количество факторов2 (K,L) Производственная функция С постоянной отдачей Технический прогрессДопускается Рынок трудаСовершенная конкуренция, предложение экзогенно Рынок капиталаСовершенная конкуренция, предложение эндогенно Совершенная конкуренция, предложение экзогенно Накопление капиталаПостоянные темпы износа, нет лага между инвестициями и производством Экономические агенты2 типа: молодые и старыеРепрезентативные Потребительское поведение Явная оптимизация при бюджетном ограничении Задано экзогенно ВремяДискретноеНепрерывное

Решение модели

Выбор потребителя

Норма сбережения и ставка процента (1) r s Θ < 1 r s Θ > 1

Норма сбережения и ставка процента (2)

Поведение фирмы Оптимальное решение для фирм не изменилось по сравнению с моделью Солоу, поэтому, приняв k t = K t / (L t A t ), получаем: w t = y(k t ) – k t y(k t ); r t = k t y(k t ) –.

Общее экономическое равновесие

Временнóе равновесие Будем называть временнЫм равновесием последовательность (k) t=0, если при заданном k 0 уравнение динамики капиталовооруженности справедливо для любого t. Иначе говоря, это траектория динамики капиталовооруженности.

Построение фазовой диаграммы для CES-функции См. симуляцию в MatLab

Далее будем рассматривать простейшую модель, в которой функции Кобба-Дугласа используются для описания как предпочтений индивидов, так и их производственных возможностей

Уравнение динамики капиталовооруженности

Фазовая диаграмма Такая динамика капиталовооруженности предполагает следующую фазовую диаграмму: Видно, что наблюдается конвергенция к единственному нетривиальному стационарному состоянию. ktkt k t+1

Стационарное состояние

Скорость конвергенции (1)

Скорость конвергенции (2)

Скорость конвергенции (3)

Динамическая неэффективность (1)

Динамическая неэффективность (2)

Динамическая неэффективность (3) Откуда же берется динамическая неэффективность в модели Самуэльсона-Даймонда, где индивиды ведут себя рационально на совершенно-конкурентных рынках?

Динамическая неэффективность (4) Все дело в том, что не выполняется еще одна предпосылка теорем общественного благосостояния: полнота рынков. В нашей модели единственным источником дохода старшего поколения является накопленный капитал. Межвременной обмен с младшим поколением невозможен, потому что хотя существует возможность трансферта от младшего поколения старшему, компенсирующего предшествующего ему трансферта в противоположную сторону произойти не может, так как в тот момент молодое поколение еще не родилось! Может ли ситуация быть улучшена с помощью беневолентного государства?

Пенсионная система (1) Предположим, что государство изымает в виде налога (в нашей стране это социальный налог) часть дохода младшего (работающего) поколения в размере и направляет его на выплату пенсий старшему поколению (в размере (1+n), поскольку численность старшего поколения в 1+n раз меньше, чем младшего. Отметим, что – это аккордный налог, а не процент от дохода.

Пенсионная система (2) Тогда бюджетное ограничение будет выглядеть в нашем случае следующим образом c 2t-1 = (w – с 1t – )(1 + r) + (1+n). Как мы помним, уравнение Эйлера у нас связывало потребления первого и второго периодов следующим образом: с 2 = с 1 (1+r). Решим систему этих уравнений.

Пенсионная система (3) Так как числитель и знаменатель коэффициента при t, очевидно, больше нуля, такая пенсионная система (называемая перераспределительной), приводит к снижению нормы сбережения и, следовательно, равновесного запаса капитала.

Пенсионная система (4) В том случае, если в экономике действительно имелось перенакопление, введение перераспределительной пенсионной системы действительно увеличивает благосостояние общества (при относительно небольшом объеме перераспределения), но перенакопление бывает редко, а в противном случае введение перераспределительной системы снизит благосостояние.

Рикардианская неэквивалентность (1) Предположим, что государство совершает госзакупки в размере g на одного человека. Оно может финансировать свои расходы за счет налогов или заимствований d. Оказывает ли воздействие на сбережения выбор способа финансирования расходов?

Рикардианская неэквивалентность (2) Бюджетное ограничение государства (1+r t )d t + g t = + d t+1 (1-n) Потребительский выбор Изменилось и равновесие на рынке капитала, так как государство может пользоваться сбережениями населения для финансирования госрасходов. s t = (1 + n)( k t+1 + d t+1 )

Рикардианская неэквивалентность (3) Стационарное состояние описывается следующей системой Таким образом,

Рикардианская неэквивалентность (4) Таким образом, прирост задолженности снижает капиталовооруженность в стационарном состоянии. В данной модели эквивалентность Рикардо не наблюдается, поскольку государство может перекладывать долг, возникший в результате бюджетных дефицитов, на будущие поколения. В моделях, где такое невозможно эквивалентность Барро-Рикардо может наблюдаться. Примером такой модели является модель Рамсея-Касса- Купманса, которую мы рассмотрим в следующий раз.

Расширения модели: Династии Аналогичный эффект будет достигаться за счет введения в модель альтруистических связей между поколениями (ТШ, 12.5). Предположим, благосостояние будущих поколений положительно влияет на нашу полезность. Тогда мы будем менее склонны оставлять в наследство своим потомкам долги.

Расширения модели: Эластичное предложение труда До сих пор в модели были только объемы потребления благ. Но что если ввести в функцию полезности еще и досуг (причем выбрать такую функцию, чтобы эффекты дохода и замены не уравновешивали друг друга)? Посмотрим на результат в следующей (после модели Рамсея) теме – реальные деловые циклы.