Лектор Белов В.М г. Тема: Системы линейных уравнений. Системы однородных уравнений

Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными (равносильными) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований системы. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются преобразования следующего вида: 1) умножение обеих частей уравнения на число α 0; 2) прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число α 0; 3) перестановка двух уравнений; 4) вычеркивание одного из двух пропорциональных или одинаковых уравнений.

Суть метод Гаусса: а) из всех уравнений системы кроме первого исключается неизвестное x 1 ; б) из всех уравнений системы кроме первого и второго исключается неизвестное x 2 ; в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное x 3 и т.д. В результате система будет приведена к одному из следующих двух видов. 1) Первый возможный вид:

Тогда Следовательно, система (5) (а значит и исходная система) совместна и имеет единственное решение. Находим решение: а) из последнего уравнения системы (5): б) из предпоследнего уравнения системы (5): И т.д. получим последовательно x n-2, x n-3, …, x 1.

2) Второй возможный вид Следовательно, система (6) (а значит и исходная система) совместна и имеет множество решений. Находим решение: Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, назовем зависимыми. Остальные переменные назовем независимыми (или свободными). Пусть, например, x 1,x 2, …, x r – зависимые, x r+1,x r+2, …, x n – свободные.

б) Перепишем систему (6) в следующем виде: Выразим зависимые переменные через свободные: Система (8), в которой зависимые переменные выражены через свободные, называется общим решением системы (6) (а значит и исходной системы). Придавая свободным переменным в общем решении конкретные значения, мы можем записать бесконечно много решений системы.

§5. Системы линейных однородных уравнений Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида Решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 называют нулевым (тривиальным). Если а) m = n и |A| = 0 или б) m < n, то r(A)

ТЕОРЕМА 1. Линейная комбинация конечного числа решений системы линейных однородных уравнений тоже является решением этой системы. ТЕОРЕМА 2. Пусть r – ранг матрицы системы (1). Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся n-r решений таких, что любое другое ее решение будет их линейной комбинацией. Решения, о которых идет речь в теореме 2, называются фундаментальной системой решений. АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ФСР: 1)находим общее решение системы; 2)записываем любой отличный от нуля определитель Δ, порядка n – r; 3)записываем n – r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк определителя Δ. Полученные таким образом n–r решений будут являться фундаментальной системой решений системы.

Пусть дана некоторая система линейных неоднородных уравнений, имеющая множество решений: Систему линейных однородных уравнений вида называют соответствующей системе (2).

ТЕОРЕМА 3. Пусть c 1,c 2, …, c n – какое-нибудь решение системы (2). Любое другое решение системы (2) может быть записано как сумма решения c 1,c 2, …, c n и некоторого решения системы (3). Иначе говоря, справедливо равенство: X = α 1 C 1 + α 2 C 2 + … + α n-r C n-r + C, (4) где X – матрица-столбец неизвестных, C 1,C 2, …, C n-r – матрицы-столбцы, элементами которых служат решения из фср системы (3), C – матрица-столбец, элементами которой является решение c 1,c 2, …, c n.