Исторические сведения В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что путь и скорость связаны между собой формулой: V(t)=S(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси ОX.

Теоретический материал по теме «ПРОИЗВОДНАЯ»

Как найти производную? 1. Необходимо знать таблицу производных основных элементарных функций. 2. Уметь видеть, как составная функция строится из основных элементарных функций. 3. Знать формулы производной составных функций – то есть производных суммы, произведения сложной функции и частного сложной функции (производной суперпозиции). произведения частного

В11 Найдите точку максимума функции Задачи для дополнительного решения Найдите точку минимума функции Решение: Найдём производную данной функции и найдем критические точки, для этого решим уравнение Д= = 289 х= - 4, х = При переходе через точку -4 производная меняет знак с «+» на «-», Значит х = -4 является точкой максимума. Ответ: -4 В решениях заданий, встречаемых в сборниках по подготовке к ЕГЭ по математике применяются формулы и правила нахождения производной, геометрический и механический смысл производной, понятие критической точки, признаки возрастания и убывания функции методы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, точек максимума и минимума.

Таблица производных

Теорема. Константу можно вынести за знак производной, то есть назад

Теорема. Производная суммы любого числа функций равна сумме производных этих функций. Для трех функций, например, имеем: назад

Теорема. Производная произведения двух функций равна назад

Теорема. Производная частного двух функций равна назад

Реклама. Выполнение тестов - надежный путь в сдаче ЕГЭ

Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. Проверка y = f(x) y x Подумай ! Верно! 5 a b

Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a;b] На рисунке изображен график ее производной у = f / (x). В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. Проверка y = f / (x) y x Подумай ! Верно! 6 a b

y = f / (x) х Не верно! f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку, в которой функция у = f(x) принимает наибольшее значение. + a Верно! Проверка (2) х max = 1 В этой точке функция у =f(x) примет наибольшее значение – 3

На рисунке изображен график производной функции у =f / (x), заданной на промежутке (- 5; 5). Исследуйте функцию у =f (x) на монотонность и укажите число ее промежутков убывания Не верно! Верно! Не верно! Проверка (2) f(x) f / (x) 4 + – y = f / (x) y x + 1

y = f / (x) Не верно! f(x) f / (x) Функция у = f(x) определена на промежутке на промежутке (- 6; 3). На рисунке изображен график ее производной. Найдите длину промежутка убывания этой функции. + – Верно! Проверка (2) IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII y x -6 2

х1х В какой из указанных точек производная функции, график которой изображен на рисунке, отрицательна? х2х2 х3х3 х4х4 Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o. Проверка (4) х3х3 х у х4х4 х2 х2 В этой точке производная равна нулю! В этой точке производная равна нулю! ПОДУМАЙ ! х1х1 Геометрический смысл производной k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k > o ВЕРНО!

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай! х0х0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох равен 0 (касательная параллельна оси Ох, значит tg0 0 = –1 не существует Верно!

На рисунке изображен график функции у =f(x). Укажите в какой точке значение производной отрицатально В этой точке производная не существует Верно! Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k > o. х 1 х 2 х 3 х 4 Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < 0. 1 В этой точке производная равна нулю! х1х1 х2х2 х3х3 х4х4

х На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-5;5]. Укажите точку, в которой производная равна Не верно! Не верно Верно! Не верно!

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай! Верно! Подумай ! х0х0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 4 : 4 =1 –5 –1 5 1

Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 6 : 3 =2. Значит, k= -2 На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной в точке х Подумай! Верно! Подумай ! х0х0 0,5 –0,5 –2 2

х На рисунке изображен график функции у =f(x), заданной на промежутке [-4;5]. Укажите промежуток, которому принадлежат все нули функции Подумай! Верно! Подумай ! Нуль функции – значение х, при котором значение у = 0. На рисунке зто – точки пересечения с осью Ох. (1; 4] (-3; 5) (-3;4] [-3;4]

На рисунке изображен график функции y = f (x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 2. Найдите значение производной этой функции в точке x = 2.

Задачи для самостоятельного решения В14. Найдите точку минимума функции. В14. Найдите точку максимума функции. В14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке. В14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке.