«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства.» Бертран Рассел

Между несовместимым всегда есть грань. Но иногда эта грань исчезает и несовместимое сливается в единое целое. Мне хотелось показать как эта грань исчезает между миром искусства и миром математики.

Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники.

Существует всего пять правильных многогранников, у которых все стороны являются правильными многоугольниками и все вершины одинаковы. Они известны как многоугольники Платона или Платоновы тела. Также существует 13 выпуклых многогранников, гранями которых являются один, два или три правильных многоугольника, и у которых все вершины одинаковы. Они известны как тела Архимеда. Кроме этого существует бесконечное множество призм и антипризм с гранями в виде правильных многоугольников. Платоновы тела

Платон ( до н.е.) описал пять правильных многогранников, которые также иногда называются телами Платона. Он соотносил эти тела с четырьмя элементами: огонь - тетраэдр, воздух - октаэдр, вода - икосаэдр, земля - куб. Далее, он писал, что существует пятая комбинация, которой Бог ограничил мир, это додекаэдр. тетраэдроктаэдр икосаэдркубдодекаэдр

Правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников.

Египетские пирамиды имеют форму тетраэдра.

Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников.

Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.

Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов.

Этим изображением Леонардо да Винчи на три века предвосхитил гипотезу о периодическом строении кристаллов, высказанную французскими кристаллографами.

Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.

Изображения Леонардо да Винчи додекаэдра методом жёстких рёбер (а) и методом сплошных граней (б)

Голландский художник М.К. Эшер в некотором роде является отцом математического искусства. Одной из частых тем математического искусства является использование многогранников, которые были изучены достаточно давно. Творчество Эшера оказало огромное влияние на несчетное количество художников в разных странах мира.

На картине изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами. На каждой из площадок живёт длинношеее четырёхногое бесхвостое фантастическое животное; его туловище находится в пирамиде, в отверстия которой оно высовывает конечности, верхушка пирамиды является одной из стен жилища соседнего чудовища.

На литографии Эшера Порядок и хаос изображен малый звездчатый додекаэдр. Изящная симметрия многогранника, вершины которого пронзают окружающий его мыльный пузырь, противостоит коллекции предметов, которые Эшер охарактеризовал как выброшенные за ненадобностью, смятые и никому не нужные.

На гравюре «Звезды» можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров.

На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Художник, родившийся в Венгрии, известен как практик направления оптического искусства Оп-арт. Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.

В своих сериях картин он воплощал дуализм черного и белого. Для так называемого периода "Belle-Tie" ("Прекрасного острова") ( ) характерны эллиптические формы: отдельные элементы Васарели помещал поочередно то на передний, то на задний план.

Дальнейшие наблюдения подвели Васарели к так называемому "Кристаллическому периоду" ( ), в продолжение которого художник пытался в своих работах дать толкование пространству.

Васарели стал автором архитектурного проекта здания Фонда Васарели в Аи- ан-Провансе.

Вошёл в историю постсоветской живописи как мастер.

Многогранники находят широкое применение в современной архитектуре. Громоздкие классические конструкции вытесняются изящными, не всем понятными своей оригинальностью, новыми постройками.

Шоколадная фабрика, спроектированная мексиканским архитектором Майклом Ройкиндом. Комплекс стоит на бетонных колоннах, которые поднимают его над землей. Стены представляют собой причудливый многогранник, не менее завораживающий своей абстрактностью как снаружи, так и изнутри.

Фасад здания, составленный из блестящих стеклянных граней, имеет форму невыпуклого многогранника. Кристаллические грани отражают не только здание напротив, но и пешеходов, небо, автомобили, зрительно расширяя пространство вокруг. Выступы фасада увеличиваются по мере возрастания высоты постройки, доходя до глубины около одного метра на четвертом, верхнем этаже.

Архитектурный шедевр американского архитектора Фрэнка Ллойда Райта, широко известен как «Дом над водопадом» частное строение, возведенное по заказу американского миллионера Эдгара Кауфмана и его супруги Лилиан. Постройки Ллойда Райта являются родоначальниками современной архитектуры.

Роттердам - город самой оригинальной архитектуры в мире.

Роттердам - шикарный современный город с домами в 30, 40… и до 176 этажей. Практически все постройки представляют собой многогранники.

В самом центре города стоят самые необычные дома. Например, разноцветный дом-карандаш-небоскреб с остро заточенным грифелем. Или дом-многогранник, где граней - десятки. Или дом-корабль. А еще дом с террасами на всех уровнях, декорированный желтыми и синими трубами. Или необычный жилой дом: на многочисленных, соединенных между собой тумбах стоят на ребрах кубики. На каждой тумбе – по кубику. Каждый кубик – трехъярусная квартира для одной семьи. Мы ведь привыкли жить в параллелепипедах, прочным фундаментом вдавленных в землю. А этот куб – парит.дом-карандашдом-корабльдом с террасами кубики

В ходе работы я нашла много примеров, где искусство и математика образуют единое произведение. Несовместимое совмещается.

Картина «Многогранники», написанная мной.

Атанасян, Бутузов, Кадомцев «Геометрия класс» Невозможный мир: Статьи: Общие темы математического искусства «Многогранники вокруг нас или мы внутри многогранника» Невозможный мир: Математическое искусство М. К. Эшера Стеклянные многогранники Роттердам - город авангардной архитектуры Леонардо Архитектура и интерьер «Дом над водопадом» в Пенсильвании » Читальный зал Мирта