ВОЗМОЖНОСТИ МЕТОДА КРАМЕРА Исследовательская работа Автор: Румянцева Дарья, ученица 9 класса Руководитель: Смирнова Н. В., учитель математики Гимназии 8 им. Л.М. Марасиновой «В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея, …нужно только надлежащим образом применить эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной» А.Н. Колмогоров

что представляет собой метод Крамера решения систем линейных уравнений, почему его не изучают в курсе алгебры основной школы, при каких условиях будет эффективно его применение; возможно ли применить данный метод при решении задач из других наук. Возможности метода Крамера Исследовательская проблема:

изучить метод Крамера решения систем линейных уравнений; исследовать прикладные возможности метода Крамера; исследовать условия эффективности применения метода Крамера. Возможности метода Крамера Цель работы:

Предмет исследования: Метод Крамера – метод решения систем линейных уравнений и их исследования на число возможных решений Возможности метода Крамера Объект исследования: задачи, решаемые методом Крамера и условия эффективности применения данного метода

Гипотеза исследования: Метод Крамера является наиболее оптимальным и эффективным методом решения задачи (этапа решения задачи) если он предполагает некий алгоритм несложных вычислительных операций; ускоряет процесс решения по сравнению с применением других методов Возможности метода Крамера

Задачи исследования: Обобщить теоретические знания и практические умения решать системы линейных уравнений; Познакомиться с матричным способом записи систем линейных уравнений – как наиболее экономичным; Познакомиться с понятием «определитель» и научиться вычислять значения определителей 2-го, 3- го порядка; Изучить метод Крамера для решения систем линейных уравнений; Определить условия оптимальности применения метода Крамера; Применить алгоритм исследования (метод Крамера) при решении и конструировании различных алгебраических задач; Показать возможности метода Крамера при решении задач других наук; Возможности метода Крамера

Понятие матрицы Возможности метода Крамера

a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Возможности метода Крамера

МЕТОД КРАМЕРА Возможности метода Крамера

МЕТОД КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ ИЗ ДВУХ УРАВНЕНИЙ Возможности метода Крамера

Теорема Крамера Если определитель матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам: Учитывая, что Несложно получить условия, определяющие число решений системы линейных уравнений ΔΔхΔуЧисло решений 000Бесконечное множество 000Нет решений 0любое Единственное решение Возможности метода Крамера

Решить систему уравнений: Исследовать при каких значениях k значение переменной х больше, чем значение переменной у Значения переменных – есть значения выражений (дробей с одинаковым знаменателем), значит, чтобы выполнялось неравенство х >у, должно выполняться неравенство 4k+15>6-3k, k>- Ответ: при k>- Возможности метода Крамера Задачи из сборника для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл углубленного уровня

Возможности метода Крамера Задачи из сборника для проведения письменного экзамена по математике в 9 кл. углубленного уровня: исследовать систему на возможное число решений в зависимости от параметра k Исследовать, при каких значениях k Система имеет единственное решение Исследовать, при каких значениях k система не имеет решений Исследовать при каких значениях k значение переменной х больше, чем значение переменной у Исследовать при каких значениях k значение переменной х равно значению переменной у Исследовать при каких значениях k Система имеет единственное решение, причем значение переменных х и у неотрицательно, При каких значениях k система имеет бесконечное множество решений 10 задач из сборника: Все задачи однотипны, легкорешаемые любым методом. Метод Крамера позволяет избежать лишних записей 7 задач, сконструированных самостоятельно. Отражают возможности метода Крамера, демонстрируют его эффективность при решении исследовательских задач.

Возможности метода Крамера Задачи из сборника тренировочных заданий для проведения ЕГЭ в 11 классах. ЕГЭ-2005, С-2 Решить неравенство Задача 2 При каких значениях параметра а неравенство имеет ровно одно решение? Система имеет единственное решение если Δ0 Ответ: При неравенство имеет ровно одно решение?

Возможности метода Крамера Задачи из сборника тренировочных заданий для проведения ЕГЭ в 11 классах. ЕГЭ-2005, С-2 3 задачи из сборника: Иррациональные неравенства и неравенства с модулями, решение которых основано на аргументированном переходе к решению линейных систем, легкорешаемых любым методом. Метод Крамера позволяет избежать лишних записей 3 задачи, сконструированные самостоятельно. Отражают возможности метода Крамера, демонстрируют его эффективность при решении исследовательских задач. При каких значениях параметра a неравенство имеет бесконечное множество решений? При каких значениях параметра a неравенство имеет единственное решение? При каких значениях параметра a неравенство имеет единственное решение?

Возможности метода Крамера Задачи из сборников заданий по химии Задача из теста международной игры «Кенгуру – выпускникам» Задачи из сборников заданий для ЗМШ геометрического и алгебраического содержания

Возможности метода Крамера Задачи из сборника тренировочных заданий для проведения ЕГЭ по физике в 11 классах Через неподвижный блок переброшена нерастяжимая нить. На концах этой нити подвешены грузы равных масс М. На один из грузов поставили дополнительный груз массой m. Определить ускорение движения грузов, силу натяжения нити, силу давления груза m на груз М. Массой блока и нити можно пренебречь. Решение задачи сводится к решению системы уравнений: 1*Т – Ма +0*Р=Мg, 1*Т + Ма -1*Р = Мg, 0*Т + mа +1* Р = mg = 2М +m = 2Мmg + 2 M 2 g = mg =2 Mmg

Возможности метода Крамера Решении линейных систем 2-го и 3-го порядка; Исследовании линейных систем в соответствии с определенными условиями; Решении линейных систем в общем виде ВЫВОД: Метод Крамера эффективно применять при: Практическая значимость работы Освоен еще один метод решения систем линейных уравнений; Продемонстрированы практические возможности метода при решении задач по геометрии, химии, физике, алгебре; Представлены задачи самостоятельного конструирования.

ΔΔхΔуЧисло решений 000Бесконечное множество 000Нет решений 0любое Единственное решение Возможности метода Крамера