Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

Дана прямая в пространстве, на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой? Ответ: Бесконечно много. Упражнение 1

Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой? Ответ: Бесконечно много. Упражнение 2

Из планиметрии известно, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для стереометрии? Ответ: Нет. Упражнение 3

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми A 1 C 1 и B 1 D 1. Ответ: 90 o. Куб 1

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC. Ответ: 90 o. Куб 2

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и CD. Ответ: 90 o. Куб 3

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и B 1 C 1. Ответ: 90 o. Куб 4

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и C 1 D 1. Ответ: 90 o. Куб 5

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o. Куб 5

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и CD 1. Ответ: 45 o. Куб 6

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1. Куб 7 Решение. Через точку A проведем прямую AD 1, параллельную BC 1. Искомый угол равен углу B 1 AD 1. Треугольник B 1 AD 1 – равносторонний. Следовательно, искомый угол равен 60 о. Ответ: 60 о.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и DA 1. Ответ: 60 o. Куб 8

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и A 1 C 1. Ответ: 60 o. Куб 9

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и CD 1. Ответ: 90 o. Куб 10

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между прямыми AD и BD. Ответ: 60 o. Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины ребер BC и CD. Найдите угол между прямыми AD и EF. Ответ: 60 o. Пирамида 2

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AB. Найдите косинус угла между прямыми AD и CE. Решение. Через точку E проведем прямую EF, параллельную AD. Искомым углом будет угол CEF. В треугольнике CEF имеем EF =, CE = CF = Следовательно, Ответ: Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SB. Ответ: 60 о. Пирамида 4

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и SC. Ответ: 60 o. Пирамида 5

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми SA и SC. Ответ: 90 о. Решение. В треугольнике SAC SA = SC = 1, AC =. Следовательно, искомый угол равен 90 о. Пирамида 6

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите угол между прямыми AD и BE. Ответ: 30 о. Решение. Искомый угол равен углу CBE. Он равен 30 о. Пирамида 7

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямыми SA и BC. Ответ: 60 о. Решение: Искомый угол равен углу SAD. Треугольник SAD – равносторонний, следовательно, = 60 о. Пирамида 8

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между прямыми SA и DE. Ответ: Пирамида 9

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между прямыми SA и BE. Ответ: Пирамида 10

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC. Ответ: 90 o. Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o. Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1. Ответ: 60 o. Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и A 1 C. Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C. В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1. В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна. Следовательно, Призма 4

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и B 1 C 1. Ответ: 90 o. Призма 5

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o. Призма 6

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и DE 1. Ответ: 45 o. Призма 7

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и DE 1. Ответ: 90 o. Призма 8

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и B 1 C 1. Ответ: 60 o. Призма 9

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1. Ответ: 60 o. Призма 10