РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учитель: Копеина Наталья Васильевна 10 класс МОУ «Киришский лицей»

Содержание. 1.Вводная часть, повторение теоретического материала.Вводная часть, повторение теоретического материала. 2.Решение тригонометрических уравнений.Решение тригонометрических уравнений. 3.Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

ЦЕЛЬ: Повторить решение тригонометрических уравнений. 1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. 2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений. 3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов. Выделение основных проблем при решении этих уравнений: Потеря корней. Посторонние корни. Отбор корней.

Устная работа. Решите уравнения А) 3 х – 5 = 7 Б) х 2 – 8 х + 15 = 0 В) 4 х 2 – 4 х + 1= 0 Г) х 4 – 5 х = 0 Д) 3 х 2 – 12 = 0 Ответы 4 3; 5 0,5 -2; -1; 1; 2 -2; 2

Устная работа Упростите выражения А) (sin a – 1) (sin a + 1) Б) sin 2 a – 1 + cos 2 a В) sin 2 a + tg a ctg a + cos 2 a Г) Ответы - cos 2 a 0 2 |1- tg х|

Повторим значения синуса и косинуса у π/2 90° 1 120° 2π/3 π/3 60° 135° 3π/4 π/4 45° 150° 5π/6 1/2 π/6 30° 180° π ° x -1/2 ½ 2π 360 (cost) 210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6] 225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4] 240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3] 270° 3π/2 [-π/2] (sint)

Арккосинус у х π/2 0π 1 -а а arccos а = t arccos(-а) Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], что cos t = а. Причём, | а | 1. Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], что cos t = а. Причём, | а | 1. arccos( - а) = π- arccos а Примеры: 1)arccos(-1) = π 2)arccos( )

Арксинус Примеры: у х π/2 -π/2 1 а arcsin а = t - а arcsin(- а )= - arcsin а arcsin(- а ) Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [-π/2;π/2], что sin t = а. Причём, | а | 1. Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [-π/2;π/2], что sin t = а. Причём, | а | 1.

Арктангенс у π/2 -π/2 х 0 а arctgа = t Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а. Причём, а Є R. Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а. Причём, а Є R. arctg(-а) = - arctg а -а-а arctg(-а ) Примеры: 1) arctg3/3 = π/6 2) arctg(-1) = -π/4

Арккотангенс у х 0π а arcctg а = t Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а. Причём, а ЄR. Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а. Причём, а ЄR. arcctg(- а) = π – arcctg а - а- а arcctg(- а) 1) arcctg(-1) = Примеры: 3π/4 2) arcctg3 = π/6

Повторение 1 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4 arcsin 2/2 arccos 1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- 3/2) arctg 3 2 вариант cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6 arccos 2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- 3/2) arctg 3/3

Повторение Ответы 1 вариант - 3/2 - 1/2 3/3 1 3/2 2/2 π/4 0 - π/6 5π/6 π/3 Ответы 2 вариант 2/2 3/ /2 - 3/2 π/4 π/2 2π/3 - π/3 π/6

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 1.cost = а, где |а| 1 или Частные случаи 1) cost=0 t = π/2+πk kЄZ 2) cost=1 t = 2πk kЄZ 3) cost = -1 t = π+2πk kЄZ

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 2. sint = а, где | а | 1 или Частные случаи 1) sint=0 t = πk kЄZ 2) sint=1 t = π/2+2πk kЄZ 3) sint = - 1 t = - π/2+2πk kЄZ

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk k ЄZ 4. ctgt = а, а ЄR t = arcctg а + πk kЄZ

При каких значениях х имеет смысл выражение: 1.arcsin(2x+1) 1.arcsin(2x+1) 2.arccos(5-2x) 3.arccos(x²-1) 4.arcsin(4x²-3x) 1) -1 2х х 0 -1 х 0 Ответ: [-1;0] 1) -1 2х х 0 -1 х 0 Ответ: [-1;0] 2) х х -4 2 х 3 Ответ: [2;3] 2) х х -4 2 х 3 Ответ: [2;3] -1 х² х² 2 Ответ: -1 х² х² 2 Ответ: -14х²-3х1 4х²-3х -1 4х²-3х 1 4х²-3х-1 0 Ответ: -14х²-3х1 4х²-3х -1 4х²-3х 1 4х²-3х-1 0 Ответ:

Примеры: 1)cost= - ; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; 4) ctgt = - t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ± + 2πk, kЄZ t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ± + 2πk, kЄZ Частный случай: t = πk, kЄZ Частный случай: t = πk, kЄZ t = arctg1+πk, kЄZ t = + πk, kЄZ. t = arctg1+πk, kЄZ t = + πk, kЄZ. t = arcctg( ) + πk, kЄZ t = + πk, kЄZ. t = arcctg( ) + πk, kЄZ t = + πk, kЄZ.

Решение простейших уравнений 1)tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 1)tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ. 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ.

Виды тригонометрических уравнений 1.Сводимые к квадратным Решаются методом введения новой переменной asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 1.Сводимые к квадратным Решаются методом введения новой переменной asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

2.Однородные 1)Первой степени: Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной. asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m 2.Однородные 1)Первой степени: Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной. asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m Виды тригонометрических уравнений Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0. Решение: Разделим обе части уравнения на cosx. Получим Ответ:

2) Однородные уравнения второй степени: Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной. asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0. 2) Однородные уравнения второй степени: Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной. asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0. Виды тригонометрических уравнений П р и м е р. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x, sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0, tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0, отсюда y 2 + 4y +3 = 0, корни этого уравнения: y 1 = 1, y 2 = 3, отсюда 1) tg x = –1, 2) tg x = –3, Ответ:

Виды тригонометрических уравнений 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C. А, В, С 0 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C. А, В, С 0 sin x + cos x = 1. Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0,

Виды тригонометрических уравнений 4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента. 4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента. А sinx + B cosx = C При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уровнения. Проверка Если, - не верно, значит, не является корнями исходного уравнения Ответ:

Формулы. a cosx +b sinx заменим на C sin(x+ ), где sin = cos = - вспомогательный аргумент. Универсальная подстановка. х + 2 n; Проверка обязательна! Понижение степени. = (1 + cos2x ) : 2 = (1 – cos 2x) : 2 Метод вспомогательного аргумента.

Правила. Увидел квадрат – понижай степень. Увидел произведение – делай сумму. Увидел сумму – делай произведение.

1.Потеря корней: делим на g(х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения. Потеря корней, лишние корни.

Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам Вариант 1. На «3» 3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin 2 х - 3 sinх cos х - 2 cos 2 х =0 На «4» 3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0 5 sin 2 х + 2 sinх cos х - cos 2 х =1 На «5» 2 sin x - 5 cos x = sin 2x + 6 cos 2 х = 0 Вариант 2. На «3» cos x+ 3 sin x = 0 6 sin 2 х - 5 sinх cos х + cos 2 х =0 На «4» 2 sin 2 x – sin x cosx =0 4 sin 2 х - 2sinх cos х – 4 cos 2 х =1 На «5» 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin 2 х - 2sin 2х +1 =0