Решение задачи диффузии, зависящей от времени

Рассмотрим простейшее уравнение в частных производных параболического типа, описывающее процесс диффузии или теплопроводности в зависимости от времени

FTCS схема для уравнения диффузии, зависящего от времени

Применение критерия фон Неймана к этой схеме приводит к следующему выражению для ξ :

Условие стабильности для схемы FTCS для уравнения диффузии Выполнение условия Приводит к следующему критерию стабильности схемы:

Физический смысл приведенного условия состоит в том, что шаг по времени при решении диффузионной задачи должен быть не больше времени диффузии через ячейку сетки размером Δх, или, иначе, время диффузии τ на расстояние λ порядка Условие стабильности для схемы FTCS для уравнения диффузии (2)

Методы численного решения эллиптических уравнений

Это уравнение в частных производных эллиптического типа, решение этого уравнения можно представить как предел к которому стремится при бесконечно больших t решение следующего уравнения (например, некоторое начальное распределение температур стремится к равновесному распределению)

Схема FTCS для уравнения диффузии в двумерной области (1) Рассмотрим двумерное уравнение диффузии

Схема FTCS для уравнения диффузии в двумерной области (2)

Схема FTCS для уравнения диффузии в двумерной области (3) Как было показано ранее одномерная схема для уравнения диффузии устойчива, если t/( * ) 1/2, в двумерном случае t/( * ) 1/4, возьмем максимально возможный шаг, при котором t/( * )=1/4, тогда приведенная схема получит название схемы Якоби и примет вид

Схема Якоби для уравнения диффузии в двумерной области Эта схема теперь используется для решения стационарного уравнения диффузии (граничной задачи)

Метод Якоби Эта классическая разностная схема была предложена в конце прошлого века и называется методом Якоби. Этот метод редко используется на практике из-за медленной сходимости, однако он служит основой для понимания многих современных методов.

Метод Гаусса-Зейделя (1) Второй классический метод называется методом Гаусса-Зейделя; этот метод используется в многосеточных методах решения граничных задач. В этом методе два значения неизвестной функции в правой части берутся в момент времени n+1, как только они становятся известны.

Метод Гаусса-Зейделя (2) Этот метод также медленно сходится, однако анализ этого метода может быть полезен.

Рассмотрим методы Якоби и Гаусса- Зейделя с точки зрения представления матриц в виде суммы. Заменим обозначение u на x, чтобы получить стандартный вид матричного уравнения.

Разбиение матрицы А Мы можем представить матрицу A в виде Здесь –D –диагональная часть матрицы A, L – нижняя треугольная часть матрицы A, U – верхняя треугольная часть матрицы A, матрицы L, U содержат нули на диагонали.

Метод релаксации для схемы Якоби При использовании метода Якоби итерацию на r –м шаге можно записать в виде: Матрица –D -1 *(L+U) – итерационная матрица при помощи которой находится следующее итерационное приближение.

Скорость сходимости метода Якоби (1) Мы не будем проводить детальный анализ скорости сходимости этого метода, Для оценки скорости сходимости вводится параметр, называемый спектральным радиусом оператора релаксации При увеличении размерности сетки J спектральный радиус стремится к единице.

Скорость сходимости метода Якоби (2) Была произведена оценка числа итераций, необходимых для достижения точности 10 -p

Скорость сходимости метода Якоби (3) Для данного конкретного уравнения, граничных условий и геометрии сетки спектральный радиус, в принципе, можно вычислить аналитически, так для сетки размерности J*J с условиями Дирихле на всех четырех границах, асимптотическая формула для больших J имеет вид:

Оценка необходимого числа итераций в методе Якоби При этом необходимое число итераций для достижения точности можно оценить по формуле: Другими словами, число итераций пропорционально числу точек сетки

Метод релаксации для схемы Гаусса- Зейделя Методу Гаусса-Зейделя соответствует следующее матричное уравнение:

Оценка необходимого числа итераций в методе Гаусса-Зейделя Для рассматриваемой нами модели спектральный радиус и число итераций можно оценить по формулам: