Площадь прямоугольника Авторы: учащиеся 8 класса Лысенкова Марина, Маркин Александр, Селезнёв Артём, Голенских Ольга. ©Tchykanova _2007

Гипотеза: Для вычисления площадей многоугольников измеряют лишь некоторые связанные с многоугольником отрезки, а затем вычисляют площадь по определённым формулам.

Нам предстоит: 1.Рассмотреть вопрос об измерении площадей; 2.Рассмотреть формулировку и доказательство теоремы о площади прямоугольника и площади параллелограмма; 3.Рассмотреть задачи на закрепление изученных формул.

Актуализация опорных знаний 1.Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведены две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. На какие фигуры разбивается этими прямыми данный треугольник? 2. AM – биссектриса параллелограмма ABCD, AD = 2AB. A B C D M Докажите, что часть отрезка АМ, лежащая во внутренней области параллелограмма ABCD, равна части, лежащей во внешней области. [ ВК = АВ = ½ ВС КС =ВК, К ВКА = МКС, АВС = МСК АВК = МСК АК = КМ.]

Все мы понимаем смысл слов: площадь комнаты равна 25 м², площадь сада – 6 соткам.С понятием «площадь» и формулами для вычисления площадей некоторых фигур вы уже встречались. Какие это фигуры? [ прямоугольник: S = ab; круг: S= ] Площадь поверхности стен в помещении нужно знать, например, для того, чтобы рассчитать необходимое для их покрытия количество обоев, краски или кафеля. Важно ли в жизни уметь измерять и вычислять площади фигур? Как вы думаете, для чего, например?

Площадь зеркала водохранилища нужно знать его проектировщикам, в частности, чтобы определить, как станет испаряться из заполненного водохранилища вода. Площадь поверхности дороги нужно знать, чтобы рассчитать необходимое для её покрытия количества асфальта.

Можно сказать, что площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. Если за единицу измерения отрезков принят сантиметр, то за единицу измерения площадей принимают квадрат со стороной 1 см. Такой квадрат называют квадратным сантиметром ( см² ) 1 см 1 см² 1м 1мм 1мм² Какие ещё единицы измерения площадей вы знаете? [1 га (площадь квадрата со стороной 100 м), 1а ( сотка) 100м² ] Понятие площади многоугольника 1 м²

С 1см Е D При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике. В А С D E 1см S = 6см² 1см S 2,13 см²

Площадь прямоугольника Теорема: Площадь прямоугольника равна b a S произведению его смежных сторон. S S b a b b С другой стороны ( a + b )² = S + S + a² + b². a² + 2ab + b² = 2S + a² + b². a²a² b²b² b²b² a a Дано: прямоугольник, a, b – стороны, S – площадь. Доказать: S = ab Доказательство: 1) Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b. По свойству измерения площадей, его площадь равна ( a + b )². S = ab

Закрепление 446 Решение: 1 S = 4 S = A B C D Найти: S [ CD = 30 : 2 = 15; 15·10=150 ] А В C D M Найдите [ т.к СМЕ = DAE, то = Q ] E

Площадь параллелограмма А В С D H Одну из сторон параллелограмма, например AD назовём основанием, а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, - высотой параллелограмма. ( ВН – высота) Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. А В С D H 1 Дано: ABCD – параллелограмм, AD – основание, ВН – высота. Доказать: S = AD · BH

2 1 А В С DH К Доказательство: 1)Пусть площадь параллелограмма равна S. 2)Параллелограмм ABCD состоит из ABH и трапеции HBCD, а прямоугольник HBCK – из трапеции HBCD и DCK. Так как ABH = DCK ( по гипотенузе (АВ = DC) и острому углу ( 1 = 2 как соответственные при AB CD ) ). Значит,, а, но ВС = AD. или S = ah, где а – основание, b – высота. S = ah

Решите устно А B C D Найти 6 см [ 156 см² ] 460 A B C D H 8см 30º Найти площадь параллелограмма ABCD [ BC = AD = 8 см, ВН = 6 : 2 = 3 см, S = 8 · 6 = 48 ( см²) ] 13 см 12 см

Краткие итоги нашей работы: 1.Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. 2.За единицу измерения площадей принимают квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков. 3.Sпр = а b 4.Sпар = a h

Интернет-ресурсы и литература Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов «Геометрия 7 – 9», 1996 г. И.Ф.Шарыгин, «Геометрия 7 – 9», Г.И.Глейзер, «История математики в школе», 1964 г.