Малая Академия Наук гимназии 1 г. Нерюнгри математическое отделение 2006 – 2007 гг.

Комплексные числа Исследовательская работа Выполнил ученик 11 «А» класса Дударев Александр. Руководитель учитель высшей категории Поддельская В. Б.

Выход Оглавление Цель, актуальность, задача Цель, актуальность, задача История развития учения о комплексных числах История развития учения о комплексных числах Действия с комплексными числами Решение уравнений Комплексная плоскость Возведение в степень и извлечение корня Результаты проведения элективного курса Тест

Выход Цель Целью моего проекта является изучение комплексных чисел как раздела математики и создание наглядного электронного пособия для учащихся старших классов и студентов первого курса технических ВУЗов.

Выход Актуальность Я считаю, что мой проект актуален, так как в настоящее время довольно сложно найти учебное пособие, в котором эта тема объяснена доступно, просто и понятно для учащихся. Тем более, что сейчас комплексные числа входят в программу только физико-математического профиля.

Выход Задача Задачу я перед собой ставил такую: исследование изучения темы «Комплексные числа» по данному учебному пособию учениками 11 класса и проверка их знаний.

Выход Исторические факты 1545 г. – Джироламо Кардано вводит понятие «чисто отрицательное число» - прообраз мнимого г. – Рене Декарт вводит понятие «мнимое число» г. – Леонард Эйлер предлагает использовать первую букву французского слова imaginaire для обозначения -1. Конец XVIII в. – Ж. Лагранж применяет комплексные числа для решения линейных дифференциальных уравнений. Конец XVIII в. – Якоб Бернулли применяет при вычислении интегралов комплексные числа. Начало XIX в. – обоснование геометрии комплексных чисел Каспаром Весселем, Жаном Арганом, К. Гауссом.

Выход Мнимая единица Мнимая единица: i = -1

Выход Общий вид Общий вид комплексного числа: z = a + bi, где a и b – действительные числа, а i = - 1. a называют действительной частью числа и обозначают Re, b – мнимой, обозначают Im.

Выход Сопряжённые числа z 1 = a + bi z 2 = a – bi Произведением и суммой сопряжённых чисел являются действительные числа: a + bi+ a – bi = 2a = a 2 + b 2 (a + bi)(a – bi) a·a – bi·bi

Выход Моё маленькое открытие К вышеизложенным двум свойствам сопряжённых чисел я добавил ещё одно, доказанное лично мной. А именно, что сумма корней из двух сопряжённых чисел – действительное число.

Выход Модуль Модулем комплексного числа называют длину вектора, соответствующего числу. Численно он равен корню из произведения двух сопряженных чисел: r = |z| = |a + bi| = a 2 + b 2

Выход Действия с комплексными числами Сумма: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Вычитание: (a + bi) – (c + di) = = (a – c) + (b – d)i. Произведение: (a + bi) (c + di) = = (ac – bd) + (ad + bc) i. Деление:

Выход Решение квадратных уравнений Любое квадратное уравнение az 2 + bz + c = 0, где a, b, с – действительные числа, a 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле: z 1, 2 =. Любое уравнение степени n имеет ровно n корней, среди которых могут быть повторяющиеся и комплексные.

Выход Формула Кардано Формула Кардано для нахождения корней кубического уравнения вида x 3 + px + q = 0:

Выход Комплексная плоскость Радиус-вектор OM соответствует комплексному числу z = a + bi O x y M a b φ = arg z

Выход Тригонометрическая форма записи комплексных чисел В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна |z|. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно: a = Re z = | z | cos φ, b = Im z = | z | sin φ, где φ – аргумент комплексного числа z. O x y M a b N

Выход Модуль на координатной плоскости Меня поразило, что каждому модулю (т.е. длине вектора) соответствует множество значений. Все они лежат на окружности радиусом |z|. Т.е. существует множество чисел с одинаковым модулем. y M O x |z|

Выход Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Таким образом: z = a + bi = | z | cos φ + | z | sin φ i = = | z | (cos φ + i sin φ). Произведение двух комплексных чисел будет равно: z1 z2 = | z1 | | z2 | (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)). При умножении комплексных чисел их модули необходимо перемножить, а аргументы – сложить. При делении необходимо произвести обратные операции: поделить модули и вычесть аргументы.

Выход Формула Муавра Формулой Муавра называют выражение, получаемое при возведение комплексного числа в степень n: z n = r n (cos nφ + i sin nφ).

Выход Извлечение корня из комплексного числа Если z = r (cos φ + i sin φ), то эти значения выражаются формулой:

Выход Мои маленькие открытия Ещё одно свойство сопряжённых чисел. Свойство модуля числа на координатной плоскости. Свойство модуля числа на координатной плоскости.

Выход Результаты проведения элективного курса в 11 классе