Основы матричной алгебры СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ Операция сложения матриц определяется для двух матриц одинакового размера. Если А, В – это матрицы, то элементы матрицы (А+В) получаются в результате алгебраического сложения соответствующих элементов матрицы А и матрицы В. (А+В) i,j =A i,j + B i,j Пример Матрица АМатрица В Матрица А+В

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ Операция умножения матриц имеет смысл в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго сомножителя. Если А, В – это матрицы, то элементы матрицы (АВ) получаются в результате алгебраического сложения произведений элементов соответствующей строки матрицы А и соответствующего столбца матрицы В. Если матрица А имеет n столбцов, матрица В n строк, то элемент матрицы (АВ) с троке i и в столбце j вычисляется по следующей формуле: (АВ) i,j = A i,1 В 1,j + A i,2 B 2,j + A i,3 B 3,j + …+A i,n B n,j Обратим внимание на тот факт, что в общем случае умножение матриц не обладает свойством коммутативности, т.е. результат умножения зависит от порядка сомножителей ( АВ ВА)! Пример. Матрица АМатрица В Матрица АВ *4 + 3*8 = 322*5 + 3*9 = *4 + 7*8 = 806*5 + 7*9=93

На основе операции умножения можно определить понятие целой положительной степени матрицы. Степень матрицы – это матрица, полученная путём многократного умножения на саму себя: А n = А А А А …А (n раз) Частный случай умножения: одна из матриц-сомножителей имеет один столбец или одну строку. Если считать матрицу строку или матрицу-столбец формой представления вектора, то мы получаем правило умножения матрицы на вектор. Пример. Матрица АМатрица В Матрица АВ *1 + 2*2 + 3*3 = *1 + 5*2 + 6* 3 = *1 + 8*2 +9*3 =50

УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА СКАЛЯР Если А – это матрица, h – это скалярная величина (число), то результатом умножения А на h считается такая матрица (hА), элементы которой получаются в результате умножения каждого элемента матрицы А на число h (это же определение даёт правило деления матрицы на число). (hА i,j ) = h. А i,j Пример. Матрица АСкаляр h=2 Матрица hА

ОПЕРАЦИЯ ТРАНСПОРТИРОВАНИЯ МАТРИЦЫ Операция транспортирования матрицы Операция транспортирования матрицы – это замена всех строк матрицы на столбцы, а всех столбцов - на строки. При этом первая строка становится первым столбцом и наоборот _ первый столбец – первой строкой. То же самое происходит с другими строками и столбцами.

При транспортировании квадратной матрицы меняются местами все элементы, которые симметричны относительно главной диагонали. Кроме обычного транспортирования можно рассматривать транспортирование «по побочной диагонали». При этом первая строка матрицы меняется с последним столбцом так, что первый элемент в строке становится последним элементом в столбце. Пример. Исходная матрица А

Алгебраические свойства матриц КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой количество строк и столбцов равно. ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме элементов на главной диагонали. Пример ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА – это диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1. Обычно единичную матрицу обозначают буквой Е. Пример. 100 Е=

КОММУТАТИВНЫЕ МАТРИЦЫ. Две матрицы называются коммутативными (перестановочными), если произведение матриц не зависит от порядка сомножителей. СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ. Симметричность матрицы означает, что операция транспортирования матрицы не изменяет вид матрицы – матрица симметрична относительно своей главной диагонали. Очевидно, что любая диагональная или единичная матрица симметрична. Пример. Матрица АМатрица А*

ЗАДАЧИ. Задача 1. Дана квадратная матрица действительных чисел А. Получить новую матрицу с помощью операций матричной алгебры (вычислить значение матричного выражения). Е – это единичная матрица, I – матрица со всеми единичными элементами, 2 – скаляр. Все матрицы имеют одинаковые размеры. 2( А 2 + Е + I)

… {Получим квадрат матрицы – произведение матриц (АА)} For i:=1 To n Do For j:=1 To n Do Begina2[i,j]:=0; For k:=1 To n Do a2[i,j]:=a2[i,j] + a[i,k] * a[k,j] End; {Прибавим единичную матрицу и матрицу с единицами} {Результат умножим на 2} For i:=1 To n Do For j:=1 To n Do If i=j Then a2[i,j]:=(a2[I,j] + 2) *2 else a2[i,j]:=(a2[I,j] + 1) *2; WriteLn (Результат вычислений:); For i:=1 To n Do Begin writeLn; For j:=1 To n Do Write(a2[I,j]:10:4, ) End; …