Исследование графиков на выпуклость График функции обращен на [a;b] выпуклостью вниз, если он расположен выше любой, проведенной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку

Исследование графиков на выпуклость График функции обращен на [a;b] выпуклостью вверх, если он расположен ниже любой, проведенной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку

Пусть на отрезке [a;b] функция f(x) непрерывна и внутри этого отрезка f"(x)>0 (соответственно f"(x)

Если график функции f(x) обращен на [a;b] выпуклостью вниз (соответственно вверх), то внутри отрезка [a;b] этот график расположен под хордой АВ, где А(a;f(a)),B(b;f(b))

Характеристическое свойство выпуклой вверх функции f((x 1 +x 2 )/2)(f(x 1 )+f(x 2 ))/2

Характеристическое свойство выпуклой вниз функции f((x 1 +x 2 )/2)(f(x 1 )+f(x 2 ))/2

Равенство достигается в случае линейной функции f((x 1 +x 2 )/2)=(f(x 1 )+f(x 2 ))/2

Точка М кривой называется точкой перегиба, если в этой точке кривая переходит с одной стороны касательной на ее другую сторону

Теорема: Если в точке c вторая производная функции f(x) непрерывна и отлична от нуля, то М(с,f(c)) не является точкой перегиба для графика функции Следствие: Для того, чтобы график функции f(x) имел перегиб в точке М, необходимо, чтобы либо вторая производная этой функции обращалась в нуль в точке с, либо чтобы с была для второй производной точкой разрыва, либо, наконец, чтобы вторая производная от f не существовала в точке с.

Достаточное условие для точки перегиба Пусть функция f имеет вторую производную в проколотой окрестности точки с и дифференцируема в этой точке. Если при переходе через точку с вторая производная функции f меняет знак, то М является точкой перегиба для графика функции f.