Теорема ( Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой ) Пусть y = f (x) непрерывна на [ a,b ], и имеет в ( a, b ) производную до второго порядка включительно, тогда а) если во всех точках интервала ( a, b ) вторая производная функции f (x) отрицательна f '' (x) < 0, то кривая на ( a, b ) выпукла; b) если во всех точках интервала вторая производная положительна f '' (x) > 0, то кривая на ( a, b ) вогнута. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Опр 17. Кривая обращена выпуклостью вверх на ( a,b ), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на ( a,b ). Кривая называется выпуклой. y x a b x Опр 18. Кривая обращена выпуклостью вниз на ( a,b ), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой. y x a b x

Теорема ( Достаточное условие точки перегиба ) Пусть в точке x 0 выполнены необходимые условия точки перегиба и пусть при переходе через эту точку f '' (x) меняет знак, тогда точка x 0 является точкой перегиба. Опр 19. Точка ( x 0 ;y 0 ), лежащая на кривой f(x) называется точкой перегиба функции y=f(x), если существует окрестность точки x 0 такая, что при x x 0 - по другую сторону касательной. y x Следствие из достаточного условия выпуклости и вогнутости кривой. ( Необходимое условие точки перегиба ) Если вторая производная в некоторой точке x 0 равна нулю или не существует f ''(x 0 )=0 или f ''(x 0 ), то эта точка есть точка перегиба. Без доказательства

Асимптоты кривых Опр 20. Прямая называется асимптотой кривой y = f ( x ), если расстояние от точки M кривой f ( x ) до данной прямой 0 при неограниченном удалении т. М от начала координат. M y x O f(x) Опр 21. Прямая x=a называется вертикальной асимптотой функции f(x), если хотя бы один из пределов равен или -. Опр 22. Прямая y = k x + b называется наклонной асимптотой графика функции f ( x ) при x ±, если Теорема ( Критерий существования наклонной асимптоты ) Для того, чтобы прямая y = k x + b была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы d

Общий план исследования функции и построения графиков D(y) – область непрерывности Найти, охарактеризовать точки разрыва, выделить вертикальные асимптоты Четность, нечетность Периодичность Промежутки возрастания, убывания; точки min, max Промежутки выпуклости, вогнутости; точки перегиба Наклонные асимптоты графика функции Дополнительные точки: 1) пересечение с осями координат 2) f(x min ), f(x max ) 3) f(x перегиб ) Построение графика функции

x (- ;0 ) 0 (- ;4/3 ) 4/3 ( 4/3;2 ) 2 (2; ) y(x)0 min 0 y'(x)–+0–– y''(x)––––+ 1 2 x y

Кривизна кривой Пусть T 0 – касательная к кривой f ( x ) в т. М 0, T 1 – касательная к кривой в т. М 1, – угол изменения направления касательной. Опр. Кривизной кривой в т. M 0 называется предел отношения, когда М 1 М 0 по кривой f ( x ). M0M0 M1M1 T0T0 T1T1 Обозначим М 0 М 1 = s, w=. Тогда кривизна Пусть кривая задана параметрически M0M0 M1M1 x y s f ( x ) (17.2)

Опр. Круг кривизны – это круг, который а) касается кривой f ( x ) в т. М 0 ; б) направлен выпуклостью в ту же сторону, что и кривая; в) имеет ту же кривизну, что и кривая. Пусть кривая y = f ( x ) задана в декартовых координатах (17.3) R M0M0 M1M1