Опр. 13. Функция y = f( x ) называется Пример невозрастающей функции x 1 < x 2 < x 3 f(x 1 )= f(x 2 ) > f(x 3 ) x y y=f(x) § 17. Исследование поведения функции Аналитические признаки монотонности функции а) возрастающей на ( a,b ), если x 1, x 2 ( a,b ) при x 1 < x 2 f(x 1 )

Теорема ( Достаточное условие строгой монотонности ) Пусть y=f(x) непрерывна на [ a,b] и дифференцируема на ( a,b ), тогда если а) f ' (x) >0 на ( a,b ), то f(x) возрастает на ( a,b ); b) f ' (x)

Опр. 14. Говорят, что f '(x) меняет знак в точке x 0, если существует окрестность точки x 0 : ( x 0 - δ, x 0 + δ), в которой при x x 0 – противоположный. Опр. 16. Точки, в которых f '(x) =0 или не существует, называются критическими точками. Возможные варианты критических точек y x f '(x)=0 x0x0 x0x0 экстр. нет экстр. y x f '(x) x0x0 x0x0 экстр. y x f '(x) x0x0 x0x0 экстр. нет экстр.

Теорема (2 ой достаточный признак экстремума ) Если в критической точке x 0 функции y = f(x) обращается в ноль не только первая производная но и все последующие до ( n - 1) - ой включительно, т.е. f ' (x 0 )= f '' (x 0 )= f ''' (x 0 )=…= f (n-1) (x 0 )=0, а f (n) (x 0 ) 0, тогда x 0 будет точкой экстремума, если n – четное; x 0 не будет точкой экстремума, если n – нечетное. Характер экстремума определяется знаком f (n) (x 0 )0. При f (n) (x 0 ) 0 - в x 0 минимум. Теорема (1 ый достаточный признак экстремума ) Пусть y = f (x) непрерывна и дифференцируема в ( a,b ), x 0 ( a,b ) x 0 – критическая т., тогда а) если при переходе слева направо через x 0 f '(x) меняет знак с «+» на «-», то в т. x 0 f (x) имеет максимум; b) если знак производной меняется с «-» на «+», то в x 0 f(x) имеет минимум.

Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на [ a, b ] Вспомним: Если x [a, b] выполняется неравенство f ( x ) f ( x 0 ), то говорят, функция y = f ( x ) имеет в точке x 0 глобальный максимум Если x [a, b] f ( x ) f ( x 0 ), то в точке x 0 глобальный минимум План 1.Найти критические точки x i ( f ' (x i )=0 ) 2.Вычислить f ( x i ), f ( a ), f ( b ) 3.Сравнить.

Теорема ( Достаточное условие выпуклости и вогнутости кривой ) Пусть y = f (x) непрерывна на [ a,b ], и имеет в ( a, b ) производную до второго порядка включительно, тогда а) если во всех точках интервала ( a, b ) вторая производная функции f (x) отрицательна f '' (x) < 0, то кривая на ( a, b ) выпукла; b) если во всех точках интервала вторая производная положительна f '' (x) > 0, то кривая на ( a, b ) вогнута. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба Опр 17. Кривая обращена выпуклостью вверх на ( a,b ), если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на ( a,b ). Кривая называется выпуклой. y x a b x Опр 18. Кривая обращена выпуклостью вниз на ( a,b ), если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Кривая называется вогнутой. y x a b x

Теорема ( Достаточное условие точки перегиба ) Пусть в точке x 0 выполнены необходимые условия точки перегиба и пусть при переходе через эту точку f '' (x) меняет знак, тогда точка x 0 является точкой перегиба. Опр 19. Точка ( x 0 ;y 0 ), лежащая на кривой f(x) называется точкой перегиба функции y=f(x), если существует окрестность точки x 0 такая, что при x x 0 - по другую сторону касательной. y x Следствие из достаточного условия выпуклости и вогнутости кривой. ( Необходимое условие точки перегиба ) Если вторая производная в некоторой точке x 0 равна нулю или не существует f ''(x 0 )=0 или f ''(x 0 ), то эта точка есть точка перегиба. Без доказательства