Системы эконометрических уравнений

1. система независимых уравнений (когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x)

Набор факторов в каждом уравнении может варьироваться. Так, модель вида также является системой независимых уравнений.

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов.

2. системы рекурсивных уравнений: зависимая переменная включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов x.

Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида: где - производительность труда; - фондоотдача; - фондовооруженность труда; -энерговооруженность труда; - квалификация рабочих.

3. система взаимозависимых уравнений (системы совместных, одновременных уравнений ).

Пример: модель динамики цены и заработной платы вида - темп изменения месячной заработной платы; - темп изменения цен; - процент безработных; - темп изменения постоянного капитала; - темп изменения цен на импорт сырья.

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим.

Система совместных, одновременных уравнений обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные (y). Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе. Экзогенные переменные (x). Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

структурные коэффициенты модели: - коэффициент при эндогенной переменной, - коэффициент при экзогенной переменной

для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели. Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных: -коэффициенты приведенной формы модели.

Пример: Для структурной модели вида приведенная форма модели имеет вид

из первого уравнения получаем: Тогда система одновременных уравнений будет представлена как

Отсюда имеем:

Таким образом, мы представили первое уравнение структурной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели: Отсюда

Аналогично получаем:

Проблема идентификации. Идентификация - единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида: идентифицируемые; неидентифицируемые; сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента.

обозначим H -число эндогенных переменных в j – м уравнении системы, D - число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде: уравнение идентифицируемо; уравнение неидентифицируемо; уравнение сверхидентифицируемо.

Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.