КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЁ ГРАФИК МОУ общеобразовательная школа 15 школа 15 г.Коломна 2008 год Авторы: Усаков А. Сементовский Г. 9 А кл.

Немного истории

В первой половине 17 века начинает складываться представление о функции.Функция -одно из основных математических понятий и общенаучных, выражающие зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика,химия,биология,социология,лингвистика и т.д имеет свои объекты изучения,устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения и математика изучает их в виде свойств чисел. Например, в соотношении y=x 2 геометр или геодезист увидит зависимость площади y квадрата от величины x его стороны,а физик,авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы y сопротивления воздуха или воды от скорости x движения. Математика же изучает зависимость y=x 2 и её свойства в отвлеченном виде. Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Значительную роль в этом направлении сыграл французский математик Пьер Ферма ( гг.),Рене Декарт ( гг.), английский ученый Исаак Ньютон ( гг.).

Т ермин «функция» (от латинского Functio – «исполнение», совершение,выполнение, «осуществление»).Впервые ввел термин немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 – 1716 г.) У него функция связывалась с геометрическим образом – графиком функции. А график – множество всех точек ( x; y) координатной плоскости, где y =f(x), а, Х «пробегает» всю область определения функции f,а затем швейцарский математик Иоганн Бернулли ( г.) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик Леонард Эйлер ( г.) рассматривают функцию как аналитическое выражение. Первоначально идея координат зародилась в древности,в связи с потребностями астрологии,географии и живописи. На стене одной из древнеегипетских погребальных камер была обнаружена квадратная сетка (ПАЛЕТКА). Древнегреческий астроном Клавдей Птоломей (II в ) принимал географические координаты для определения местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользовались в средние века для определения светил на небе, для определения места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения. А впервые применять координаты в математике стали П.Ферма и Р.Декарт. В 1637г. вышла книга Р.Декарта «Рассуждение о методе», где в одном из разделов мы узнаем о новом методе-методе координат.

У=Ах 2 +Вх+С У=Ах 2 +т У=А(х-п) 2 У=Ах 2 -т У=х 2 У= Ах 2 У=-х 2 У=А(х+п) 2 У=-Ах 2

График функции y=x 2 1. О.О.Ф. D(y)=(-~; +~). 1. О.О.Ф. D(y)=(-~; +~). 2. О. Зн. Ф. E(y)=[0;+~). 2. О. Зн. Ф. E(y)=[0;+~) (0,0) – вершины параболы (0,0) – вершины параболы. 4. Ветви направлены вверх. 4. Ветви направлены вверх. 5. Функция чётная,т.к. о.о. симметрична относительно 0.т.к., -(х 2 )=х Функция чётная,т.к. о.о. симметрична относительно 0.т.к., -(х 2 )=х График представляет собой параболу симметричную относительно оси ОУ. 6. График представляет собой параболу симметричную относительно оси ОУ. 7. На промежутке(-~,0) функция убывает, а на промежутке(0, ~) функция возрастает. 7. На промежутке(-~,0) функция убывает, а на промежутке(0, ~) функция возрастает.

График функции у=-х 2 Графиком данной функции является парабола. Графиком данной функции является парабола. Ветви её направлены вниз. Ветви её направлены вниз. График у=х 2 и График у=х 2 и у=-(х 2 )симметричны относительно оси абсцисс ОХ. у=-(х 2 )симметричны относительно оси абсцисс ОХ.

У=-2х 2 и У=1/3 х 2 Графиком функции у=- 2х 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, а сам график сжат по оси ОХ. Графиком функции у=- 2х 2 является парабола, ветви которой направлены вниз, а сам график сжат по оси ОХ. Графиком функции у=1/3х 2 является парабола, которая растянута по оси ОХ. Графиком функции у=1/3х 2 является парабола, которая растянута по оси ОХ.

У= х 2 +т График функции У=х 2 +т будет поднят на т единиц вверх по оси ОУ по отношению к графику у= х 2. График функции У=х 2 +т будет поднят на т единиц вверх по оси ОУ по отношению к графику у= х 2. График функции у=х 2 -т будет опущен на т единиц по оси ОУ по отношению к графику функции у=х 2. График функции у=х 2 -т будет опущен на т единиц по оси ОУ по отношению к графику функции у=х 2.

У=А(х-т) 2 График данной функции парабола,вершины которой смещены по оси ОХ на т единиц. График данной функции парабола,вершины которой смещены по оси ОХ на т единиц. На рисунке изображён график функции у= (х+2) 2 и график функции у=(х-2) 2. На рисунке изображён график функции у= (х+2) 2 и график функции у=(х-2) 2.

У=А(х-т) 2 +n Графики данной функции имеют координаты вершины в точке(m,n). Графики данной функции имеют координаты вершины в точке(m,n). Парабола имеет смещение по оси ОХ и ОУ. Парабола имеет смещение по оси ОХ и ОУ.