I Поверхности второго порядка

введение Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. Цель моего реферата – ознакомиться с поверхностями второго порядка, а именно: понять, что они из себя представляют какими бывают как образуются какими уравнениями задаются Для достижения поставленной цели выполняется следующий ряд задач: 1.Рассматриваются: понятие поверхности, ее уравнение и метод сечений для изучения формы поверхности сферические, цилиндрические и конические поверхности пересечение и касание поверхностей второго порядка 2.Описывается ряд поверхностей, образованных вращением некоторых кривых второго порядка

1.Понятие уравнения поверхности Пусть дано уравнение F (х, у, z) = 0. (1) Множество всех точек пространства, координаты которых в некоторой общей декартовой системе координат удовлетворяют уравнению (1), называется поверхностью. Соотношение (1) называется уравнением данной поверхности S, если соблюдены следующие два условия: а)координаты любой точки поверхности S удовлетворяют уравнению (1); б)координаты любой точки, не принадлежащей поверхности S, не удовлетворяют этому уравнению. Плоскость есть поверхность, определяемая уравнением Ах + By + Сz + D = 0, где А, В, С одновременно не равны нулю.

2. Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, координаты которых в некоторой общей декартовой системе координат удовлетворяют уравнению : Ах 2 + By 2 +Cz 2 +Dxy + Ехz + Fуz + Gx+Hy + Кz + L = 0 (7) где А, В,..., L действительные числа, причем по крайней мере один из коэффициентов А, В, С, D, E, F отличен от нуля. Другими словами, поверхность второго порядка есть множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), где F (х, у, z) некоторый многочлен второй степени.

3. Метод сечений для изучения формы поверхности Для изучения формы поверхности удобнее всего задавать ее в прямоугольной декартовой системе координат. Пусть S некоторая поверхность, заданная в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1). Для изучения формы поверхности будем пользоваться так называемым методом сечений. Сущность этого метода заключается в следующем: поверхность S рассекается плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и определяются линии пересечения поверхности с данными плоскостями. По виду этих линий судят о форме данной поверхности. Применение метода сечений основывается на следующей теореме. Теорема [60.2]. Если S поверхность, заданная в прямоугольной декартовой системе координат уравнением (1), a z = h плоскость π, параллельная координатной плоскости Оху, то проекция линии пересечения поверхности S с данной плоскостью π на плоскость Оху в системе Oij имеет уравнение F(x,y,h)=0. (10)

Доказательтво. Пусть L - линия пересечения поверхности S с плоскостью π, a L'проекция этой линии на координатную плоскость Оху (рис. 173). Мы должны доказать, что линия L в системе Оху имеет уравнение (10). Для этой цели необходимо показать, что координаты любой точки линии L на плоскости Оху удовлетворяют уравнению (10), а координаты точки плоскости Оху, не лежащей на линии L', не удовлетворяют этому уравнению. Возьмем произвольную точку М' на кривой L'. Пусть в плоскости Оху точка М' имеет координаты (х', у'). Эта же точка в пространстве будет иметь координаты (х', у', 0). Так как точка М' лежит на кривой L', то она является проекцией некоторой точки М кривой L. Точки М и М' лежат на одной прямой, параллельной оси Oz, поэтому первые две координаты этих точек совпадают. Так как, кроме того, точка М лежит в плоскости π, то она имеет координаты (х', у', h). Точка М одновременно лежит на поверхности (1), так что F (х', у', h) = 0. Мы видим, что координаты точки М' (х, у') удовлетворяют уравнению (10). Возьмем, далее, произвольную точку Р' (х*у*) в плоскости Оху, не лежащую на кривой L', и покажем, что координаты этой точки не удовлетворяют уравнению (10). Проведем через точку Р' прямую, параллельную оси Oz, и обозначим через Р точку пересечения этой прямой с плоскостью π. Так как точка Р в пространстве имеет координаты (х*, у*, 0), то точка Р будет иметь координаты (х*, у*, h). Но точка Р' не лежит на кривой L', поэтому точка Р не лежит на кривой L, т. е. координаты точки Р не удовлетворяют уравнению поверхности S F (х*, у*, h) 0. Таким образом, мы показали, что если точка плоскости не лежит на кривой L', то ее координаты не удовлетворяют уравнению (10). рис.173

Доказанная теорема позволяет построить так называемую карту поверхности в горизонталях и с помощью карты изучить ее форму. Пересечем поверхность S плоскостями π 1,π 2,...,π k, заданными уравнениями z = h 1, z = h 2,...., z = h k, где числа h 1, h 2,..., h k следуют друг за другом через одинаковые, достаточно малые числовые промежутки. Если для каждого сечения построить ее проекцию на плоскость Оху, то получим множество кривых, которое называется картой поверхности в горизонталях. Эта карта дает некоторое представление как о всей поверхности, так и о некоторых ее участках. Например, сгущение линий на карте означает возрастание крутизны поверхности в соответствующем участке. Пример. Задана поверхность в прямоугольной декартовой системе координат Oijk уравнением х 2 + у 2 = z 2. Построить карту этой поверхности в горизонталях.. Решение. Определим проекции сечений этой поверхности с плоскостями, z = h при h 1 = 0, h 2 = 1, h 3 = 2, h 4 = 3, h 5 = 4. Согласно теореме [60.2] проекции этих сечений в системе Oij имеют уравнения: x 2 + y 2 = 0, x 2 + y 2 =1, x 2 + y 2 = 2 2, x 2 + y 2 = 3 2, x 2 + y 2 = 4 2

Уравнение х 2 + у 2 = 0 определяет на плоскости Оху единственную точку начало координат, а остальные уравнения, как мы знаем, определяют окружности соответствующего радиуса. Таким образом, карта данной поверхности в горизонталях есть совокупность концентрических окружностей. Позже мы увидим, что уравнением данного примера определяется коническая поверхность, образованная вращением вокруг оси Оz прямой, проходящей через начало координат. Рассмотрим следующую задачу. (рис. 174); рис. 174;

Задача 1. Пусть Охуz прямоугольная декартова система координат в пространстве. Вывести уравнение поверхности, образованной вращением вокруг оси Oz линии, лежащей в плоскости Оуz и заданной в ней уравнением F(у,z) = 0. (1) Решение. Пусть L кривая, определяемая в плоскости Оуz уравнением (1). Рассмотрим случай, когда кривая L симметрична относительно оси Оz или ординаты всех точек кривой не отрицательны. Пусть М (х, у, z) произвольная точка поверхности S, образованной вращением кривой L вокруг оси Оz. Проведем через эту точку параллель и обозначим через N точку, в которой данная параллель пересекает кривую L, а через C точку, в которой плоскость параллели пересекает ось Oz. He нарушая общности, можно предположить, что ордината точки N не отрицательна, поэтому точка N будет иметь координаты 0, р, z, где р = CN = СМ. Так как точка N лежит на кривой L, то F (р, z) = 0. С другой стороны, р = СМ = х 2 + у 2. Подставив значение р в предыдущее соотношение, получаем: (2) Итак, если точка принадлежит поверхности вращения, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (2).

II Поверхности, образованные вращением некоторых кривых второго порядка

Элипсоид Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. (1)

Однополостный гиперболоид Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида. (3)

Двуполостный гиперболоид Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида. (5)

Эллиптический параболоид Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением Где p>0 и q>0. Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида. (7)

Гиперболический параболоид Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением где p>0, q>0. (9)

Конус второго порядка Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением (11)

Пример. Написать уравнение поверхности, образованной вращением параболы z 2 2ру = 0, х = 0 вокруг оси Oz Решение. В данном случае кривая не симметрична относительно оси вращения Оz, однако ординаты всех точек этой кривой неотрицательны, поэтому уравнение поверхности вращения имеет вид (2): Далеко не всякая поверхность, полученная вращением кривой второго порядка, является поверхностью второго порядка. Приведем пример. Если возвести обе части последнего равенства в квадрат, то получим уравнение поверхности в следующем виде: z 4 = 4р 2 (х 2 + у 2 ). Легко видеть, что это уравнение эквивалентно предыдущему, поэтому в данном случае поверхность вращения является поверхностью четвертого порядка.

Уравнение сферической поверхности Сферическая поверхность, или сфера, есть множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат Oijk точка С (х 0, у 0, z 0 ) является центром сферической поверхности радиуса r. Для того чтобы точка М (x, у, z) принадлежала сферической поверхности, необходимо и достаточно, чтобы МС = r или Возведём обе части уравнения в квадрат: (х - x 0 ) 2 + (у - у 0 ) 2 + (z- z 0 ) = r 2 (4) или в развернутом виде: x 2 + у 2 + z 2 - 2x 0 x- 2у 0 у - 2z 0 z+ х у z r 2 = 0. (5) В частности, если точка С совпадает с началом координат, то уравнение сферы имеет вид: x 2 +y 2 +z 2 =r 2 (6)

III Цилиндрические поверхности

Уравнение цилиндрической поверхности Поверхность, обладающая тем свойством, что вместе с каждой точкой М она содержит всю прямую, проходящую через М, параллельную данному фиксированному вектору р, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. Прямые, параллельные вектору p и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности. Цилиндрическая поверхность может быть образована следующим образом. Пусть L некоторая линия, а p ненулевой вектор. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки линии L и содержащими вектор p, будет цилиндрической. Прямые, содержащие вектор p, будут образующими этой поверхности. В этом случае линия L называется направляющей этой поверхности (рис. 182). Рис. 182.

IV Пересечение и касание поверхностей второго порядка

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках (1 и 2 на рис. 4.58), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания. Сфера, имеющая двойное касание с поверхностью второго порядка (рис. 4.59), может быть использована для нахождения круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют. Рис Касание поверхностей второго порядка в двух точках Рис Построение круговых сечений на кривых поверхностях 2-го порядка

Теорема 2 (теорема Монжа).Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в неё(рис. 4.60), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (прямая ). Теорема Монжа является частным случаем теоремы 1. Рис теорема Монжа рис пересечение поверхностей сферы и эллиптическогo цилиндра 4.62 сфера пересекается с пирамидой

V Монж Гаспар

Монж Гаспар ( )- французский геометр и общественный деятель, Член Парижской Академии Наук (1780г.). Творец начертательной геометрии, Монж дал обстоятельное изложение дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей: изучил эволюты пространственных кривых, кривизны поверхностей, исследовал огибающие, развёртывающиеся поверхности и т. д. Монжу принадлежат также работы по математическому анализу, химии, оптике, метеорологии и практической механике.

вывод Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени. Для изучения формы поверхности пользуются так называемым методом сечений. Сущность этого метода заключается в следующем: поверхность S рассекается плоскостями, параллельными координатным плоскостям, и определяются линии пересечения поверхности с данными плоскостями. По виду этих линий судят о форме данной поверхности. Некоторые поверхности могут быть образованны вращением некоторых кривых второго порядка (таких как эллипс, гипербола, парабола) – они называются поверхностями вращения. К ним относятся: Эллипсоид. Однополостный гиперболоид. Двуполостный гиперболоид. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Конус второго порядка Существуют так же: Сферические поверхности, или сферы - это множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром. Цилиндрические поверхности или цилиндры, т. е. поверхности, обладающие тем свойством, что вместе с каждой точкой М она содержит всю прямую, проходящую через М, параллельную данному фиксированному вектору р. Прямые, параллельные вектору p и принадлежащие цилиндрической поверхности, называются образующими этой поверхности.

Список литературы 1. «Аналитическая геометрия» В.А. Ильин, Э.Г. Позняк 2. «Аналитическая геометрия» Л.С. Атанасян