Многогранники вокруг нас Подготовила учитель математики и информатики Полищук И.В.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран Рассел

Многогранники Однородные выпуклые Однородные невыпуклые Тела Архимеда Тела Платона Выпуклые призмы и антипризмы Тела Кеплера- Пуансо Невыпуклые полуправильные однородные многогранники Невыпуклые призмы и антипризмы

Правильными многогранниками Называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники. В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Правильные многогранники - трёхмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Правильные многогранники Сколько же их существует? Тетраэдр -правильная треугольная пирамида с равными ребрами, ограниченная четырьмя правильными треугольниками.

Правильные многогранники Октаэдр – правильный четырёхугольный диэдр с равными рёбрами, ограниченный восемью правильными треугольниками.

Икосаэдр- поверхность, ограниченная двадцатью правильными треугольниками. Правильные многогранники

Куб(гексаэдр)- правильная четырёхугольная призма с равными рёбрами, ограниченная шестью квадратами. Правильные многогранники

Додекаэдр- поверхность, ограниченная двенадцатью правильными пятиугольниками.

Сделаем вывод: Мы убедились, что существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Эти тела еще называют телами Платона.

Тетраэдр Икосаэдр Гексаэдр Додекаэдр Октаэдр

вода земля воздух огонь Вселенная додекаэдр гексаэдр октаэдр икосаэдр тетраэдр Пифагор

Двойственность куба и октаэдра

: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».

Число вершин минус число ребер плюс число граней равно двум. Теорема Эйлера В – Р + Г = 2

Тела Архимеда Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Тела Архимеда Тело Ашкинузе

Получение некоторых тел Архимеда усеченный тетраэдр усеченный октаэдр

Архимед ( гг. до н.э.)

Кристаллы Халькопирит Топаз Пирит Авгит Медный купорос

Тела Кеплера – Пуансо (правильные звездчатые многогранники)

Большой звездчатый додекаэдр Большой икосаэдр Малый звездчатый додекаэдр Большой додекаэдр

Получение тел Кеплера - Пуансо Продолжение рёбер додекаэдра приводит к замене каждой грани звёздчатым правильным пятиугольником. В результате получается малый звёздчатый додекаэдр. На продолжении граней додекаэдра возможны следующие два случая: -если рассматривать правильные пятиугольники, то получается большой додекаэдр; -если же в качестве граней рассматривать звёздчатые пятиугольники, то получается большой звёздчатый додекаэдр. При продолжении граней правильного икосаэдра получается большой икосаэдр.

Иоганн Кеплер ( )

Снежинки – звёздчатые многогранники А вы видели тени от снежинок? А вы знаете, как они танцуют В лунном блеске голубом и чистом Или просто в свете фонаря?

Многогранники в геологии Икосаэдро- додекаэдрическая структура Земли.

Многогранники в ювелирном деле

Многогранники в архитектуре