Тема 1.1. Основы математических знаний. Моделирование социально- правовых процессов Лекция 1.1 Основы теории множеств

Изучить : элементы математической логики. основные понятия теории множеств; Цели лекции операции над множествами; понятие подмножества;

2. ПодмножестваПодмножества 4. Дополнение множеств. Мощность множествДополнение множеств. Мощность множеств Учебные вопросы: 3. Операции над множествамиОперации над множествами 1. Понятие множестваПонятие множества 5. Элементы математической логики

Список рекомендуемой литературы: Конспект лекций. Арбузов П.В., Герасименко В.Н., Гуде С.В., Медянцев Д.В. Высшая математика для юристов: учебное пособие. Ростов-на-Дону. Феникс, – 442с. Турецкий В.Я. Математика и информатика. – 3-е изд. – М.: ИНФРА – М, – 560с. – сайт кафедры

Множество -любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. (Г. Кантор) Основные определения Объекты, входящие во множество, называют элементами. Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника – теории множеств. Н. Бурбаки Множества обычно обозначают прописными курсивными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д. x A

Существенными в понятии множества являются следующие признаки: Объекты, входящие во множество, определенные. Объекты, входящие во множество, различимы между собой. Во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов. Все объекты рассматриваются в совокупности, а от свойств отдельных объектов абстрагируются.

А= понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье B= сложение, вычитание, умножение, деление, X= 2, 3 явный (перечислительный) Способы задания множеств 2, 2, 3 описательный X= x признак. X= x, А= a a – день недели, В= b b – арифметическое действие

Конечным множеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Множество, не содержащее элементов, называют пустым и обозначают. Множество, состоящее из всех рассматриваемых в данном случае элементов, называют универсальным и обозначают I.

Если каждый элемент множества В является также и элементом множества А, то говорят, что множество В называется подмножеством множества А. В А (В включено в А). Например, 2, 4 2, 3, 4, 5. Если множества А и В состоят из одних и тех же элементов, то множества А и В называются равными: А=В.

А А - рефлексивность А А I, I - универсальное множество Свойства отношения включения Множество А называется истинным подмножеством множества В, если А А В и АВ. А В.

Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P(A).

Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. А В С=А В={c c A или с В} A B=B A (А В) С = А (В С) А А = А Если А В, то А В = В.

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В одновременно. А В С=А В={c c A и с В} А В = В А (А В) С = А (В С) (А В) С = (А С) (В С) А А=А Если А В, то А В=А.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А, но не входят в множество В. А\В С=А\В={c c A и с В}

Симметрической разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат только какому-то одному из множеств А или В. А В С=А В= (А\В) (В\А) А В = В А (А В) С = А (В С) (А В) С = (А С) (В С)

Разность I\А называется дополнением множества А и обозначается

N(A) + N(В) + N(С) – N(А В) – N(B C) – N(А C) + N(А В C). Число элементов конечного множества будем обозначать через N(A). N(А В)= N(A)+N(В) –N(А В) формула включений и исключений для 2 множеств формула включений и исключений для 3 множеств N(I) – N(А)

Высказыванием называется всякое утверждение (повествовательное предложение), про которое всегда определенно и объективно можно сказать, является ли оно истинным или ложным. А – «Волга впадает в Каспийское море»А=1 В – «3 больше 5»В=0 Высказывания, которые нельзя разбить на еще более мелкие, называются простыми, а сконструированные при помощи логических связок – сложными.

Операция отрицания соответствует частице «не» обозначается А или А – «подсудимый виновен», – «подсудимый не виновен». А

Дизъюнкция высказываний Соответствует «или». Обозначается А В. «Грабеж может быть совершен с применением физического или психического насилия». АВ A B Дизъюнкция А В – сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно ложны.

Конъюнкция высказываний Соответствует «и». Обозначается А В. «Это преступление наказывается лишением свободы и конфискацией имущества». АВ A B Конъюнкция А В – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны.

Импликация высказываний Соответствует объединению двух высказываний с помощью союза «если …, то …» Обозначается А В. «Если банк отказывает в принятии документов..., то он обязан незамедлительно проинформировать об этом получателя средств». АВ A B Импликация высказываний А и В (А В) – сложное высказывание, которое истинно всегда, кроме случая когда А – истинно, а В – ложно.

Эквивалентность высказываний Читается: "А эквивалентно В". Обозначается А В. «Деяние кража равносильно тайному хищению чужого имущества». АВ А В Эквивалентность высказываний А и В (А В) – сложное высказывание, которое истинно, когда А и В одновременно либо истинны– истинно, или ложны и ложно во всех других случаях.